הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ההפרש בין הווקטור להיטלו"
(יצירת דף עם התוכן "בתחילת הנושא של ההיטל, כאשר הצדקנו את ההגדרה, אמרנו שהרעיון הוא לפרק את $v$ לשני וקטורים: $v=...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 12: | שורה 12: | ||
נציג את $u$ כצירוף לינארי של איברי $B$: | נציג את $u$ כצירוף לינארי של איברי $B$: | ||
− | $u=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k$ | + | $$u=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k$$ |
− | $\left \langle v,u \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$ | + | אם כן, |
+ | $$\left \langle v,u \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$$ | ||
מצד שני, מתקיים: | מצד שני, מתקיים: | ||
− | + | $$\left \langle\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle= | |
− | $\left \langle\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle= | + | \frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}\overline{\alpha}_1\left \| w_1 \right \|^2+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}\overline{\alpha}_k\left \| w_k \right \|^2=$$ |
− | \frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}\overline{\alpha}_1\left \| w_1 \right \|^2+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}\overline{\alpha}_k\left \| w_k \right \|^2= | + | $$=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$$ |
− | \overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$ | + | |
לכן נקבל $\left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0$. | לכן נקבל $\left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0$. |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
בתחילת הנושא של ההיטל, כאשר הצדקנו את ההגדרה, אמרנו שהרעיון הוא לפרק את $v$ לשני וקטורים: $v=\pi_B\left(v\right)+w'$, כאשר $w'\in W^\perp$. הגענו להגדרה של היטל, וכעת - הגיע הזמן לבדוק את ההנחה הזו, כלומר האם ההגדרה באמת מקיימת את מה שרצינו.
\begin{remark}
$v-\pi_B\left(v\right)\in W^\perp$.
\end{remark}
\begin{proof}
יהי $u\in W$. נבדוק האם מתקיים התנאי $\left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0$.
נציג את $u$ כצירוף לינארי של איברי $B$: $$u=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k$$ אם כן, $$\left \langle v,u \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$$
מצד שני, מתקיים: $$\left \langle\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle= \frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}\overline{\alpha}_1\left \| w_1 \right \|^2+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}\overline{\alpha}_k\left \| w_k \right \|^2=$$ $$=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$$
לכן נקבל $\left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0$.
\end{proof}
\begin{remark}
$v-\pi_B\left(v\right)\in B^\perp$.
\end{remark}
\begin{proof}
באמצעות ההערה הקודמת בצירוף $\operatorname{Span}\left(B\right)=W$ ו-$\left(\operatorname{Span}\left(S \right ) \right )^\perp=S^\perp$.
\end{proof}