הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי"

גרסה מ־13:24, 21 באוגוסט 2014

\textbf{הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי:}

\textit{לא לבעלי לב חלש!}

נניח כי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$. נשים לב ש-$im\left(T^{k-1}\right)\subseteq\ker T$, ולכן

$im\left(T^{k-1} \right )\subseteq im\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T\subseteq im\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T\subseteq\cdots\subseteq\ker T$

ניקח בסיס $T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )$ של $im\left(T^{k-1}\right)$.

נשלים אותו לבסיס עבור $im\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right )$.

נשלים את הבסיס שקיבלנו לבסיס עבור $im\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $T^{k-3}\left(v_{r_2+1} \right ),\dots,T^{k-3}\left(v_{r_3} \right )$.

נמשיך באותו האופן עד שנקבל בסיס של $\ker T$, שיהיה מהצורה )המפחידה(

$T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,T\left(v_{r_{k+2}+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}$

)שימו לב שזה בסיס ל-$\ker T$ ולא לכל $V$, ולכן הוא לא הבסיס המז'רדן(

נוכיח שאיחוד המסלולים הבא מהווה בסיס של $V$ )זהירות - מפלצת(:

$\{ T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_1 \right ),v_1,\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1} \right ),v_{r_1},$

$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1+1} \right ),v_{r_1+1},\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,T\left(v_{r_2} \right ),v_{r_2},$

$\cdots$

$T\left(v_{r_{k-2}+1} \right ),v_{r_{k-2}+1},\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),\dots,v_{r_{k-1}},$

$v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k} \}$

\begin{enumerate}

\item \underline{בת"ל} - ניקח צירוף לינארי מתאפס

$\left(\star \right )\quad\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$

נפעיל $T^{k-1}$ על שני האגפים. כמעט כל הווקטורים יתאפסו לפי בנייתם, ונקבל כי $\alpha_{11}T^{k-1}\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_{1r_1}T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )=0$. אבל זהו צירוף של איברי בסיס של $im T^{k-1}$, ולכן כל מקדמי השורה הראשונה מתאפסים; $\alpha_{11}=\cdots=\alpha_{1r_1}=0$.

נחזור ל-$\left(\star\right)$. קיבלנו

$\left(\star\star \right )\quad\sum_{i=2}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=\\=\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0 $

באופן דומה נוכל להפעיל $T^{k-2}$, ולקבל כי כל מקדמי השורה השנייה מתאפסים; $\alpha_{21}=\cdots=\alpha_{2r_2}=0$.

נמשיך באותו האופן, להראות שלכל $i=1,\dots,k$, מקדמי השורה ה-$i$ מתאפסים. לכן, כל המקדמים הם $0$. הוכחנו בת"ל!

\item \underline{פורשת} - לכל $m=1,\dots,k-1$, הבסיס שבחרנו עבור $im T^m\cap\ker T$ מוכל ב-$T^m\left[B\right]$, ובפרט ב-$T^m\left[span\left(B\right)\right]$, שהוא תת-מרחב. לכן, $im T^m\cap\ker T\subseteq T^m\left[span\left(B\right)\right]$.

יהי $v\in V$. אזי $T^{k-1}\left(v\right)\in im T^{k-1}\subseteq im T^{k-1}\left[span\left(B\right)\right]$.

\begin{description}

\item[טענת עזר:] לכל $m=1,\dots,k-1$, אם $T^m\left(v\right)\in T^m\left[span\left(B\right)\right]$ , אזי $T^{m-1}\left(v\right)\in T^{m-1}\left[span\left(B\right)\right]$.

\item[הוכחה:] יהי $u\in span\left(B\right)$ שעבורו $T^m\left(u \right )=T^m\left(v \right )$. לכן, $T\left(T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right ) \right )=0$. אם כן,

$T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right )\in im T^{m-1}\cap\ker T\subseteq T^{m-1}\left[span\left(B \right ) \right ]$

אבל $T^{m-1}\left(u \right )\in T^{m-1}\left[span\left(B \right ) \right ]$, ולכן $T^{m-1}\left(v \right )\in T^{m-1}\left[span\left(B \right ) \right ]$, כדרוש.

\end{description}

ידוע $T^{k-1}\left(v\right)\in im T^{k-1}\left[span\left(B\right)\right]$ . לכן, לפי טענת העזר, $T^{k-2}\left(v\right)\in im T^{k-2}\left[span\left(B\right)\right]$ , מכאן $T^{k-3}\left(v\right)\in im T^{k-3}\left[span\left(B\right)\right]$

, וכן הלאה, עד שמגיעים לכך שמתקיים

$v=T^{0}\left(v\right)\in im T^{0}\left[span\left(B\right)\right]=span\left(B\right)$

כדרוש.

\end{enumerate}