הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי"
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{proof}[הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי] |
\textit{לא לבעלי לב חלש!} | \textit{לא לבעלי לב חלש!} | ||
| − | נניח כי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$. נשים לב ש-$im\left(T^{k-1}\right)\subseteq\ker T$, ולכן | + | נניח כי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$. נשים לב ש-$\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)\subseteq\ker T$, ולכן |
| + | $$\operatorname{im}\left(T^{k-1} \right )\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T\subseteq\cdots\subseteq\ker T$$ | ||
| + | ניקח בסיס $T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )$ של $\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)$. | ||
| − | $im\left(T^{k-1} \right )\ | + | נשלים אותו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים |
| + | $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right )$$ | ||
| + | נשלים את הבסיס שקיבלנו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים | ||
| + | $$T^{k-3}\left(v_{r_2+1} \right ),\dots,T^{k-3}\left(v_{r_3} \right )$$ | ||
| + | נמשיך באותו האופן עד שנקבל בסיס של $\ker T$, שיהיה מהצורה (המפחידה) | ||
| + | $$T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,$$ | ||
| + | $$T\left(v_{r_{k+2}+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}$$ | ||
| + | (שימו לב שזה בסיס ל-$\ker T$ ולא לכל $V$, ולכן הוא לא הבסיס המז'רדן) | ||
| − | + | נוכיח שאיחוד המסלולים הבא מהווה בסיס של $V$ (זהירות - מפלצת): | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | נוכיח שאיחוד המסלולים הבא מהווה בסיס של $V$ | + | |
$$\{T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_1 \right ),v_1,\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1} \right ),v_{r_1},$$ | $$\{T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_1 \right ),v_1,\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1} \right ),v_{r_1},$$ | ||
| שורה 27: | שורה 24: | ||
$$v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}\}$$ | $$v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}\}$$ | ||
| − | \begin{ | + | \begin{description} |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | \item[בת"ל] ניקח צירוף לינארי מתאפס | ||
| + | $$\left(\star \right )\quad\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ | ||
| + | נפעיל $T^{k-1}$ על שני האגפים. כמעט כל הווקטורים יתאפסו לפי בנייתם, ונקבל כי | ||
| + | $$\alpha_{11}T^{k-1}\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_{1r_1}T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )=0$$ | ||
| + | אבל זהו צירוף של איברי בסיס של $\operatorname{im} T^{k-1}$, ולכן כל מקדמי השורה הראשונה מתאפסים; | ||
| + | $$\alpha_{11}=\cdots=\alpha_{1r_1}=0$$ | ||
נחזור ל-$\left(\star\right)$. קיבלנו | נחזור ל-$\left(\star\right)$. קיבלנו | ||
| − | + | $$\left(\star\star \right )\quad\sum_{i=2}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=$$ | |
| − | $\left(\star\star \right )\quad\sum_{i=2}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )= | + | $$=\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ |
| − | $ | + | |
| − | + | ||
באופן דומה נוכל להפעיל $T^{k-2}$, ולקבל כי כל מקדמי השורה השנייה מתאפסים; $\alpha_{21}=\cdots=\alpha_{2r_2}=0$. | באופן דומה נוכל להפעיל $T^{k-2}$, ולקבל כי כל מקדמי השורה השנייה מתאפסים; $\alpha_{21}=\cdots=\alpha_{2r_2}=0$. | ||
נמשיך באותו האופן, להראות שלכל $i=1,\dots,k$, מקדמי השורה ה-$i$ מתאפסים. לכן, כל המקדמים הם $0$. הוכחנו בת"ל! | נמשיך באותו האופן, להראות שלכל $i=1,\dots,k$, מקדמי השורה ה-$i$ מתאפסים. לכן, כל המקדמים הם $0$. הוכחנו בת"ל! | ||
| − | \item | + | \item[פורשת] לכל $m=1,\dots,k-1$, הבסיס שבחרנו עבור $\operatorname{im} T^m\cap\ker T$ מוכל ב-$T^m\left[B\right]$, ובפרט ב-$T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$, שהוא תת-מרחב. לכן, |
| − | + | $$\operatorname{im} T^m\cap\ker T\subseteq T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ | |
| − | יהי $v\in V$. אזי $T^{k-1}\left(v\right)\in im T^{k-1}\subseteq im T^{k-1}\left[ | + | יהי $v\in V$. אזי $T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\subseteq \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$. |
\begin{description} | \begin{description} | ||
\item[טענת עזר:] לכל $m=1,\dots,k-1$, אם | \item[טענת עזר:] לכל $m=1,\dots,k-1$, אם | ||
| − | $T^m\left(v\right)\in T^m\left[ | + | $T^m\left(v\right)\in T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$ |
, אזי | , אזי | ||
| − | $T^{m-1}\left(v\right)\in T^{m-1}\left[ | + | $$T^{m-1}\left(v\right)\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ |
| − | \item[הוכחה:] יהי $u\in | + | \item[הוכחה:] יהי $u\in \operatorname{Span}\left(B\right)$ שעבורו $T^m\left(u \right )=T^m\left(v \right )$. לכן, |
| + | $$T\left(T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right ) \right )=0$$ | ||
| + | אם כן, | ||
| + | $$T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right )\in \operatorname{im} T^{m-1}\cap\ker T\subseteq T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$$ | ||
| − | $ | + | אבל $T^{m-1}\left(u \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, ולכן $T^{m-1}\left(v \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, כדרוש. |
| − | + | ||
| − | + | ||
\end{description} | \end{description} | ||
ידוע | ידוע | ||
| − | $T^{k-1}\left(v\right)\in im T^{k-1}\left[ | + | $$T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ |
. לכן, לפי טענת העזר, | . לכן, לפי טענת העזר, | ||
| − | $T^{k-2}\left(v\right)\in im T^{k-2}\left[ | + | $$T^{k-2}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-2}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ |
, מכאן | , מכאן | ||
| − | $T^{k-3}\left(v\right)\in im T^{k-3}\left[ | + | $$T^{k-3}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-3}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ |
| − | + | ||
, וכן הלאה, עד שמגיעים לכך שמתקיים | , וכן הלאה, עד שמגיעים לכך שמתקיים | ||
| − | + | $$v=T^{0}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{0}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]=\operatorname{Span}\left(B\right)$$ | |
| − | $v=T^{0}\left(v\right)\in im T^{0}\left[ | + | |
| − | + | ||
כדרוש. | כדרוש. | ||
| − | \end{ | + | \end{description} |
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה מ־13:03, 3 בספטמבר 2014
\begin{proof}[הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי]
\textit{לא לבעלי לב חלש!}
נניח כי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$. נשים לב ש-$\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)\subseteq\ker T$, ולכן $$\operatorname{im}\left(T^{k-1} \right )\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T\subseteq\cdots\subseteq\ker T$$ ניקח בסיס $T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )$ של $\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)$.
נשלים אותו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right )$$ נשלים את הבסיס שקיבלנו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $$T^{k-3}\left(v_{r_2+1} \right ),\dots,T^{k-3}\left(v_{r_3} \right )$$ נמשיך באותו האופן עד שנקבל בסיס של $\ker T$, שיהיה מהצורה (המפחידה) $$T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,$$ $$T\left(v_{r_{k+2}+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}$$ (שימו לב שזה בסיס ל-$\ker T$ ולא לכל $V$, ולכן הוא לא הבסיס המז'רדן)
נוכיח שאיחוד המסלולים הבא מהווה בסיס של $V$ (זהירות - מפלצת):
$$\{T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_1 \right ),v_1,\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1} \right ),v_{r_1},$$ $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1+1} \right ),v_{r_1+1},\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,T\left(v_{r_2} \right ),v_{r_2},$$ $$\cdots$$ $$T\left(v_{r_{k-2}+1} \right ),v_{r_{k-2}+1},\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),\dots,v_{r_{k-1}},$$ $$v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}\}$$
\begin{description}
\item[בת"ל] ניקח צירוף לינארי מתאפס $$\left(\star \right )\quad\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ נפעיל $T^{k-1}$ על שני האגפים. כמעט כל הווקטורים יתאפסו לפי בנייתם, ונקבל כי $$\alpha_{11}T^{k-1}\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_{1r_1}T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )=0$$ אבל זהו צירוף של איברי בסיס של $\operatorname{im} T^{k-1}$, ולכן כל מקדמי השורה הראשונה מתאפסים; $$\alpha_{11}=\cdots=\alpha_{1r_1}=0$$ נחזור ל-$\left(\star\right)$. קיבלנו $$\left(\star\star \right )\quad\sum_{i=2}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=$$ $$=\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ באופן דומה נוכל להפעיל $T^{k-2}$, ולקבל כי כל מקדמי השורה השנייה מתאפסים; $\alpha_{21}=\cdots=\alpha_{2r_2}=0$.
נמשיך באותו האופן, להראות שלכל $i=1,\dots,k$, מקדמי השורה ה-$i$ מתאפסים. לכן, כל המקדמים הם $0$. הוכחנו בת"ל!
\item[פורשת] לכל $m=1,\dots,k-1$, הבסיס שבחרנו עבור $\operatorname{im} T^m\cap\ker T$ מוכל ב-$T^m\left[B\right]$, ובפרט ב-$T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$, שהוא תת-מרחב. לכן, $$\operatorname{im} T^m\cap\ker T\subseteq T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ יהי $v\in V$. אזי $T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\subseteq \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$.
\begin{description}
\item[טענת עזר:] לכל $m=1,\dots,k-1$, אם $T^m\left(v\right)\in T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$ , אזי $$T^{m-1}\left(v\right)\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$
\item[הוכחה:] יהי $u\in \operatorname{Span}\left(B\right)$ שעבורו $T^m\left(u \right )=T^m\left(v \right )$. לכן, $$T\left(T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right ) \right )=0$$ אם כן, $$T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right )\in \operatorname{im} T^{m-1}\cap\ker T\subseteq T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$$
אבל $T^{m-1}\left(u \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, ולכן $T^{m-1}\left(v \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, כדרוש.
\end{description}
ידוע $$T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ . לכן, לפי טענת העזר, $$T^{k-2}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-2}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ , מכאן $$T^{k-3}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-3}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ , וכן הלאה, עד שמגיעים לכך שמתקיים $$v=T^{0}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{0}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]=\operatorname{Span}\left(B\right)$$ כדרוש.
\end{description}
\end{proof}
