הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:המכפלה הפנימית הסטנדרטית"
(יצירת דף עם התוכן "\begin{example} \textbf{המכפלה הפנימית הסטנדרטית} ב-$\mathbb{F}^n$, הינה המכפלה הפנימית המוגדרת באופן הבא...") |
|||
שורה 13: | שורה 13: | ||
\end{matrix} \right )$ | \end{matrix} \right )$ | ||
. אזי נגדיר | . אזי נגדיר | ||
− | $\left \langle v,w \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}$ | + | $\left \langle v,w \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}$. |
\end{example} | \end{example} |
גרסה מ־15:06, 25 באוגוסט 2014
\begin{example}
\textbf{המכפלה הפנימית הסטנדרטית} ב-$\mathbb{F}^n$, הינה המכפלה הפנימית המוגדרת באופן הבא: יהיו $v,w\in\mathbb{F}^n$, $v=\left(\begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )$, $w=\left(\begin{matrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_n \end{matrix} \right )$ . אזי נגדיר $\left \langle v,w \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}$.
\end{example}
\begin{proof}
נוכיח שזו אכן מכפלה פנימית.
\begin{enumerate}
\item \underline{לינאריות ברכיב הראשון} - טריוויאלי לפי ההגדרה.
\item \underline{הרמיטיות} - לפי התכונה $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\;\overline{z_2}$.
\item \underline{אי-שליליות} -
\begin{enumerate}
\item לפי התכונה $z\overline{z}=\left | z \right |^2$, נקבל שמתקיים
$\left \langle v,v \right \rangle=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}=\sum_{i=1}^n\left|\alpha_i\right|^2\ge0$
\item לפי החישוב הנ"ל, ובצירוף $\alpha_i=0\Leftrightarrow\left|\alpha_i\right|=0$, מקבלים את הדרוש.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof}