הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הפולינום האופייני מחלק חזקה של כל מאפס"
מ (4 גרסאות יובאו) |
|||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
יהי $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום מאפס למטריצה $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$, ונניח $\deg\left(f\right)\leq n$. אזי $p_A\left(x\right)|\left[f\left(x\right)\right]^n$. | יהי $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום מאפס למטריצה $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$, ונניח $\deg\left(f\right)\leq n$. אזי $p_A\left(x\right)|\left[f\left(x\right)\right]^n$. | ||
| − | \ | + | \end{thm} |
| − | נחפש מטריצות ריבועיות $B_0,\dots,B_{n-1}\in M_n\left(\mathbb{F} \right )$ שעבורן $B\left(x\right)=B_0+B_1x+\cdots+B_{n-1}x^{n-1}$ מקיימת את המשוואה הבאה: $\left(\star\right)\left(xI-A \right )\cdot B\left(x \right )=f\left(x \right )\cdot I$ | + | \begin{proof} |
| + | |||
| + | נחפש מטריצות ריבועיות $B_0,\dots,B_{n-1}\in M_n\left(\mathbb{F} \right )$ שעבורן | ||
| + | $$B\left(x\right)=B_0+B_1x+\cdots+B_{n-1}x^{n-1}$$ | ||
| + | מקיימת את המשוואה הבאה: | ||
| + | $$\left(\star\right)\left(xI-A \right )\cdot B\left(x \right )=f\left(x \right )\cdot I$$ | ||
| + | נסמן $f\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נשווה את המקדמים לפני החזקות של x: | ||
\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c | c} | \begin{tabular}{c | c | c | c | c | c | c} | ||
$x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\\hline | $x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\\hline | ||
| − | $-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & | + | $-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & שמאל\\ |
| − | $a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $a_nI$ & | + | $a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $a_nI$ & ימין |
\end{tabular} | \end{tabular} | ||
| − | משוויון המקדמים שאנו מחפשים, נקבל $B_{n-1}=a_nI | + | משוויון המקדמים שאנו מחפשים, נקבל |
| − | + | $$B_{n-1}=a_nI,B_{n-2}=a_{n-1}I+AB_{n-1},\dots,B_1=a_2I+AB_2,B_0=a_1I+AB_1$$ | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
אם נכפול את המקדם של $x^i$ ב-$A^i$, ונחבר את הכל, נקבל $0=0$. מכאן שהמשוואה הראשונה מתקיימת גם כן. נפעיל דטרמיננטה על $\left(\star \right )$: | אם נכפול את המקדם של $x^i$ ב-$A^i$, ונחבר את הכל, נקבל $0=0$. מכאן שהמשוואה הראשונה מתקיימת גם כן. נפעיל דטרמיננטה על $\left(\star \right )$: | ||
| − | + | $$\det\left[\left(xI-A \right )B\left(x \right ) \right ]=\det\left(f\left(x \right )I \right )$$ | |
| − | $\det\left[\left(xI-A \right )B\left(x \right ) \right ]=\det\left(f\left(x \right )I \right )$ | + | |
| − | + | ||
על פי כפליות הדטרמיננטה, נקבל | על פי כפליות הדטרמיננטה, נקבל | ||
| − | + | $$\det\left(xI-A \right )\det B\left(x \right )=\det\left(\begin{matrix} | |
| − | $\det\left(xI-A \right )\det B\left(x \right )=\det\left(\begin{matrix} | + | |
f\left(x \right ) & & 0\\ | f\left(x \right ) & & 0\\ | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
0 & &f\left(x \right ) | 0 & &f\left(x \right ) | ||
| − | \end{matrix} \right )$ | + | \end{matrix} \right )$$ |
נסמן $\det B\left(x\right)=g\left(x\right)$. אזי $p_A\left(x \right )g\left(x \right )=\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כלומר $p_A\left(x \right )|\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כדרוש. | נסמן $\det B\left(x\right)=g\left(x\right)$. אזי $p_A\left(x \right )g\left(x \right )=\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כלומר $p_A\left(x \right )|\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כדרוש. | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
כעת נוכל לקבל את המסקנה שרצינו לגבי השורשים של הפולינום המינימלי. נזכור כי הפולינום המינימלי הוא פולינום מאפס שדרגתו לכל היותר $n$, ונקבל את המסקנה הבאה: | כעת נוכל לקבל את המסקנה שרצינו לגבי השורשים של הפולינום המינימלי. נזכור כי הפולינום המינימלי הוא פולינום מאפס שדרגתו לכל היותר $n$, ונקבל את המסקנה הבאה: | ||
| − | \ | + | \begin{cor} |
| − | $m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n$ | + | $$m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n$$ |
| − | \ | + | \end{cor} |
| + | |||
| + | \begin{cor} | ||
ל-$p_A\left(x\right)$ ול-$m_A\left(x\right)$ יש אותם הגורמים האי-פריקים. לכן, יש להם אותם השורשים. | ל-$p_A\left(x\right)$ ול-$m_A\left(x\right)$ יש אותם הגורמים האי-פריקים. לכן, יש להם אותם השורשים. | ||
| + | |||
| + | \end{cor} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm}
יהי $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום מאפס למטריצה $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$, ונניח $\deg\left(f\right)\leq n$. אזי $p_A\left(x\right)|\left[f\left(x\right)\right]^n$.
\end{thm}
\begin{proof}
נחפש מטריצות ריבועיות $B_0,\dots,B_{n-1}\in M_n\left(\mathbb{F} \right )$ שעבורן $$B\left(x\right)=B_0+B_1x+\cdots+B_{n-1}x^{n-1}$$ מקיימת את המשוואה הבאה: $$\left(\star\right)\left(xI-A \right )\cdot B\left(x \right )=f\left(x \right )\cdot I$$ נסמן $f\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נשווה את המקדמים לפני החזקות של x:
\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c | c} $x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\\hline $-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & שמאל\\ $a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $a_nI$ & ימין \end{tabular}
משוויון המקדמים שאנו מחפשים, נקבל $$B_{n-1}=a_nI,B_{n-2}=a_{n-1}I+AB_{n-1},\dots,B_1=a_2I+AB_2,B_0=a_1I+AB_1$$ אם נכפול את המקדם של $x^i$ ב-$A^i$, ונחבר את הכל, נקבל $0=0$. מכאן שהמשוואה הראשונה מתקיימת גם כן. נפעיל דטרמיננטה על $\left(\star \right )$: $$\det\left[\left(xI-A \right )B\left(x \right ) \right ]=\det\left(f\left(x \right )I \right )$$ על פי כפליות הדטרמיננטה, נקבל $$\det\left(xI-A \right )\det B\left(x \right )=\det\left(\begin{matrix} f\left(x \right ) & & 0\\
& \ddots & \\
0 & &f\left(x \right ) \end{matrix} \right )$$
נסמן $\det B\left(x\right)=g\left(x\right)$. אזי $p_A\left(x \right )g\left(x \right )=\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כלומר $p_A\left(x \right )|\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כדרוש.
\end{proof}
כעת נוכל לקבל את המסקנה שרצינו לגבי השורשים של הפולינום המינימלי. נזכור כי הפולינום המינימלי הוא פולינום מאפס שדרגתו לכל היותר $n$, ונקבל את המסקנה הבאה:
\begin{cor}
$$m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n$$
\end{cor}
\begin{cor}
ל-$p_A\left(x\right)$ ול-$m_A\left(x\right)$ יש אותם הגורמים האי-פריקים. לכן, יש להם אותם השורשים.
\end{cor}
