הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הפולינום המינימלי מחלק את האופייני"
(יצירת דף עם התוכן "עד כה הגדרנו את הפולינום המינימלי של מטריצה, והוכחנו שהוא קיים ויחיד. נשאלת שאלה טבעית - ה...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
עד כה הגדרנו את הפולינום המינימלי של מטריצה, והוכחנו שהוא קיים ויחיד. נשאלת שאלה טבעית - האם יש קשר בין הפולינום האופייני לבין הפולינום המינימלי? | עד כה הגדרנו את הפולינום המינימלי של מטריצה, והוכחנו שהוא קיים ויחיד. נשאלת שאלה טבעית - האם יש קשר בין הפולינום האופייני לבין הפולינום המינימלי? | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
הפולינום המינימלי $m_A$ מחלק את הפולינום האופייני $p_A$. | הפולינום המינימלי $m_A$ מחלק את הפולינום האופייני $p_A$. | ||
| − | \ | + | \end{thm} |
| − | נשתמש בחילוק עם שארית: $p_A\left(x \right )=q\left(x \right )\cdot m_A\left(x \right )+r\left(x \right )$ | + | \begin{proof} |
| + | |||
| + | נשתמש בחילוק עם שארית: | ||
| + | $$p_A\left(x \right )=q\left(x \right )\cdot m_A\left(x \right )+r\left(x \right )$$ | ||
| + | אם נציב את המטריצה $A$, השוויון יישמר. | ||
$p_A\left(A \right )=q\left(A \right )\cdot m_A\left(A \right )+r\left(A \right )$, מכאן $0=0+r\left(A \right )$, כלומר $r\left(A \right )=0$. | $p_A\left(A \right )=q\left(A \right )\cdot m_A\left(A \right )+r\left(A \right )$, מכאן $0=0+r\left(A \right )$, כלומר $r\left(A \right )=0$. | ||
| שורה 13: | שורה 17: | ||
אם $r\neq 0$, אזי $\deg\left(r \right )< \deg\left(m_A \right )$, בסתירה להגדרת הפולינום המינימלי. לכן $r=0$, זאת אומרת $p_A=q\cdot m_A$, כדרוש. | אם $r\neq 0$, אזי $\deg\left(r \right )< \deg\left(m_A \right )$, בסתירה להגדרת הפולינום המינימלי. לכן $r=0$, זאת אומרת $p_A=q\cdot m_A$, כדרוש. | ||
| − | \ | + | \end{proof} |
| + | |||
| + | \begin{cor} | ||
השורשים של $m_A$ הם ערכים עצמיים של $A$. | השורשים של $m_A$ הם ערכים עצמיים של $A$. | ||
| + | |||
| + | \end{cor} | ||
בהמשך נראה שהכיוון ההפוך נכון גם הוא, ולסיכום - השורשים של הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים. | בהמשך נראה שהכיוון ההפוך נכון גם הוא, ולסיכום - השורשים של הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים. | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
עד כה הגדרנו את הפולינום המינימלי של מטריצה, והוכחנו שהוא קיים ויחיד. נשאלת שאלה טבעית - האם יש קשר בין הפולינום האופייני לבין הפולינום המינימלי?
\begin{thm}
הפולינום המינימלי $m_A$ מחלק את הפולינום האופייני $p_A$.
\end{thm}
\begin{proof}
נשתמש בחילוק עם שארית: $$p_A\left(x \right )=q\left(x \right )\cdot m_A\left(x \right )+r\left(x \right )$$ אם נציב את המטריצה $A$, השוויון יישמר.
$p_A\left(A \right )=q\left(A \right )\cdot m_A\left(A \right )+r\left(A \right )$, מכאן $0=0+r\left(A \right )$, כלומר $r\left(A \right )=0$.
אם $r\neq 0$, אזי $\deg\left(r \right )< \deg\left(m_A \right )$, בסתירה להגדרת הפולינום המינימלי. לכן $r=0$, זאת אומרת $p_A=q\cdot m_A$, כדרוש.
\end{proof}
\begin{cor}
השורשים של $m_A$ הם ערכים עצמיים של $A$.
\end{cor}
בהמשך נראה שהכיוון ההפוך נכון גם הוא, ולסיכום - השורשים של הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים.
