הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים של מטריצה נורמלית"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "לאור המשפט הקודם, נוכל להגיע למסקנה לגבי הקשר בין וקטורים עצמיים של מטריצה נורמלית הקשור...") |
|||
| שורה 9: | שורה 9: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| − | $$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle\Rightarrow\left \langle \lambda u,v \right \rangle=\left \langle u,\overline{\mu} v \right \rangle\Rightarrow \lambda\left \langle u,v \right \rangle=\mu\left \langle u,v \right \rangle\underset{\lambda\neq\mu}{\Rightarrow}\left \langle u,v \right \rangle=0\ | + | $$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle\Rightarrow\left \langle \lambda u,v \right \rangle=\left \langle u,\overline{\mu} v \right \rangle\Rightarrow \lambda\left \langle u,v \right \rangle=\mu\left \langle u,v \right \rangle\underset{\lambda\neq\mu}{\Rightarrow}\left \langle u,v \right \rangle=0\Rightarrow u\perp v$$ |
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה מ־07:23, 30 באוגוסט 2014
לאור המשפט הקודם, נוכל להגיע למסקנה לגבי הקשר בין וקטורים עצמיים של מטריצה נורמלית הקשורים לערכים עצמיים שונים.
\begin{corollary}
אם $A$ מטריצה נורמלית, $\lambda,\mu$ ערכים עצמיים שונים של $A$, ו-$u,v$ וקטורים עצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda,\mu$ בהתאמה, אזי $u\perp v$.
\end{corollary}
\begin{proof}
$$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle\Rightarrow\left \langle \lambda u,v \right \rangle=\left \langle u,\overline{\mu} v \right \rangle\Rightarrow \lambda\left \langle u,v \right \rangle=\mu\left \langle u,v \right \rangle\underset{\lambda\neq\mu}{\Rightarrow}\left \langle u,v \right \rangle=0\Rightarrow u\perp v$$
\end{proof}
