הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חלוקת פולינומים עם שארית"

גרסה מ־10:18, 17 באוגוסט 2014

נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:

\textbf{משפט:}

יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ )כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום(. אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ )המנה( ו-$r\left ( x \right )$ )השארית( שעבורם:

\begin{enumerate}

\item $f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right )$.

\item $r\left ( x \right )=0$ או $\deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right )$.

\end{enumerate}

לא נוכיח את המשפט בקורס זה.

\underline{הערות:}

\begin{enumerate}

\item בתנאי השני, הסיבה למקרה המיוחד $r\left ( x \right )=0$ הוא ש-$\deg\left(0\right)$ איננו מוגדר.

\item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אזי החלוקה הינה, למעשה, $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$.

\item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים )ולא רק של קבוצות הערכים שלהם(. בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.

\end{enumerate}

\textbf{דוגמה:}

נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו.

\textbf{דוגמה:}

נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$.