הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חלוקת פולינומים עם שארית"

גרסה מ־12:55, 2 בספטמבר 2014

נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:

\begin{thm}

יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ )כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום(. אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ )המנה( ו-$r\left ( x \right )$ )השארית( שעבורם:

\begin{enumerate}

\item $f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right )$.

\item $r\left ( x \right )=0$ או $\deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right )$.

\end{enumerate}

\end{thm}

לא נוכיח את המשפט בקורס זה.

\begin{remark}

\begin{enumerate}

\item בתנאי השני, הסיבה למקרה המיוחד $r\left ( x \right )=0$ הוא ש-$\deg\left(0\right)$ איננו מוגדר.

\item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אזי החלוקה הינה, למעשה, $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$.

\item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים )ולא רק של קבוצות הערכים שלהם(. בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.

\end{enumerate}

\end{remark}

\begin{example}

נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו.

\end{example}

\begin{example}

נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$.

$\quad\quad x^2+2x+4\\ \overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \hphantom\quad\quad\,2x^2\\ \hphantom\quad\quad\,\underline{2x^2+4x}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad4x-2\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\$

\end{example}