הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:כל מטריצה משולשית עליונה דומה לתחתונה"
(יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל: | בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל: | ||
− | \ | + | \begin{remark} |
אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה. | אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה. | ||
− | \ | + | \end{remark} |
+ | |||
+ | \begin{proof} | ||
נגדיר את המטריצה | נגדיר את המטריצה | ||
− | $P=\left(\begin{matrix} | + | $$P=\left(\begin{matrix} |
+ | 0 & &1 \\ | ||
+ | & \dots & \\ | ||
+ | 1 & &0 | ||
+ | \end{matrix} \right )$$ | ||
+ | (כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים). | ||
+ | |||
+ | קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$. | ||
+ | |||
+ | נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים | ||
+ | $$\left(\begin{matrix} | ||
+ | 0 & &1 \\ | ||
+ | & \dots & \\ | ||
+ | 1 & &0 | ||
+ | \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} | ||
+ | c_{11} & & \star\\ | ||
+ | & \ddots & \\ | ||
+ | 0 & & c_{nn} | ||
+ | \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} | ||
+ | 0 & &1 \\ | ||
+ | & \dots & \\ | ||
+ | 1 & &0 | ||
+ | \end{matrix} \right )=$$ | ||
+ | $$= | ||
+ | \left ( \begin{matrix} | ||
+ | 0 & & c_{nn}\\ | ||
+ | & \dots & \\ | ||
+ | c_{11} & & \star | ||
+ | \end{matrix} \right ) | ||
+ | \left(\begin{matrix} | ||
0 & &1 \\ | 0 & &1 \\ | ||
− | & \ | + | & \dots & \\ |
1 & &0 | 1 & &0 | ||
− | \end{matrix} \right )$. | + | \end{matrix} \right )= |
+ | \left ( \begin{matrix} | ||
+ | c_{nn} & &0 \\ | ||
+ | & \ddots & \\ | ||
+ | \star & & c_{11} | ||
+ | \end{matrix} \right )$$. | ||
− | + | \end{proof} | |
− | + |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:
\begin{remark}
אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה.
\end{remark}
\begin{proof}
נגדיר את המטריצה $$P=\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )$$ (כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים).
קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$.
נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים $$\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} c_{11} & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & c_{nn} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )=$$ $$= \left ( \begin{matrix} 0 & & c_{nn}\\
& \dots & \\
c_{11} & & \star \end{matrix} \right ) \left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} c_{nn} & &0 \\
& \ddots & \\
\star & & c_{11} \end{matrix} \right )$$.
\end{proof}