הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מטריצה מייצגת יחסית למסלול"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} יהי $E$ בסיס של $V$. אזי $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$ אם ורק אם $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | \ | + | \begin{lem} |
− | יהי $E$ בסיס של $V$. אזי $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$ אם ורק אם $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$ | + | יהי $E$ בסיס של $V$. אזי $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$ אם ורק אם |
+ | $$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$$ | ||
+ | כאשר $T^n\left(v\right)=0$. | ||
− | \ | + | \end{lem} |
− | + | \begin{proof} | |
− | + | \begin{description} | |
− | + | \item[$\boxed{\Leftarrow}$] | |
+ | נניח $E=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס שעבורו $\left[T\right]_B=J_n\left(0\right)$. אזי | ||
+ | $$\left[T \right ]_E=\left(\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E,\dots,\left[T\left(v_n \right ) \right ]_E \right )=\left(0,e_1,\dots,e_{n-1} \right )$$ | ||
לפי שוויון כל עמודה בנפרד, נקבל: | לפי שוויון כל עמודה בנפרד, נקבל: | ||
− | + | $$\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T\left(v_1 \right )=0$$ | |
− | $\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T\left(v_1 \right )=0$ | + | $$\left[T\left(v_2 \right ) \right ]_E=e_1$$ |
− | + | $$\vdots$$ | |
− | $\left[T\left(v_2 \right ) \right ]_E=e_1$ | + | $$\left[T\left(v_n \right ) \right ]=e_{n-1}$$ |
− | + | ||
− | $\vdots$ | + | |
− | + | ||
− | $\left[T\left(v_n \right ) \right ]=e_{n-1}$ | + | |
− | + | ||
נגדיר $v=v_n$. אזי נקבל: | נגדיר $v=v_n$. אזי נקבל: | ||
− | + | $$\left[T\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-1}=\left[v_{n-1} \right ]_E\Rightarrow T\left(v \right )=v_{n-1}$$ | |
− | $\left[T\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-1}=\left[v_{n-1} \right ]_E\Rightarrow T\left(v \right )=v_{n-1}$ | + | $$\left[T^2\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-2}=\left[v_{n-2} \right ]_E\Rightarrow T^2\left(v \right )=v_{n-2}$$ |
− | + | $$\vdots$$ | |
− | $\left[T^2\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-2}=\left[v_{n-2} \right ]_E\Rightarrow T^2\left(v \right )=v_{n-2}$ | + | $$\left[T^{n-1}\left(v \right ) \right ]_E=e_1=\left[v_1 \right ]_E\Rightarrow T^{n-1}\left(v \right )=v_1$$ |
− | + | $$\left[T^n\left(v \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T^n\left(v \right )=0$$ | |
− | $\vdots$ | + | |
− | + | ||
− | $\left[T^{n-1}\left(v \right ) \right ]_E=e_1=\left[v_1 \right ]_E\Rightarrow T^{n-1}\left(v \right )=v_1$ | + | |
− | + | ||
− | $\left[T^n\left(v \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T^n\left(v \right )=0$ | + | |
− | + | ||
ולכן $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$, כדרוש. | ולכן $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$, כדרוש. | ||
− | $\boxed{\Rightarrow}$ | + | \item[$\boxed{\Rightarrow}$] |
נניח ש-$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$. נחשב את המטריצה המייצגת $\left[T\right]_E$: | נניח ש-$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$. נחשב את המטריצה המייצגת $\left[T\right]_E$: | ||
שורה 44: | שורה 37: | ||
באופן דומה ניתן להמשיך ולקבל $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$. | באופן דומה ניתן להמשיך ולקבל $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$. | ||
+ | |||
+ | \end{description} | ||
+ | |||
+ | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{lem}
יהי $E$ בסיס של $V$. אזי $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$ אם ורק אם $$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$$ כאשר $T^n\left(v\right)=0$.
\end{lem}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{\Leftarrow}$]
נניח $E=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס שעבורו $\left[T\right]_B=J_n\left(0\right)$. אזי $$\left[T \right ]_E=\left(\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E,\dots,\left[T\left(v_n \right ) \right ]_E \right )=\left(0,e_1,\dots,e_{n-1} \right )$$ לפי שוויון כל עמודה בנפרד, נקבל: $$\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T\left(v_1 \right )=0$$ $$\left[T\left(v_2 \right ) \right ]_E=e_1$$ $$\vdots$$ $$\left[T\left(v_n \right ) \right ]=e_{n-1}$$ נגדיר $v=v_n$. אזי נקבל: $$\left[T\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-1}=\left[v_{n-1} \right ]_E\Rightarrow T\left(v \right )=v_{n-1}$$ $$\left[T^2\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-2}=\left[v_{n-2} \right ]_E\Rightarrow T^2\left(v \right )=v_{n-2}$$ $$\vdots$$ $$\left[T^{n-1}\left(v \right ) \right ]_E=e_1=\left[v_1 \right ]_E\Rightarrow T^{n-1}\left(v \right )=v_1$$ $$\left[T^n\left(v \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T^n\left(v \right )=0$$ ולכן $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$, כדרוש.
\item[$\boxed{\Rightarrow}$]
נניח ש-$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$. נחשב את המטריצה המייצגת $\left[T\right]_E$:
$T\left(T^{n-1}\left(v \right ) \right )=T^n\left(v \right )=0$, ולכן העמודה הראשונה במטריצה המייצגת היא $0$.
$T\left(T^{n-2}\left(v \right ) \right )=T^{n-1}\left(v \right )$, ולכן העמודה השנייה היא $e_1$.
באופן דומה ניתן להמשיך ולקבל $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$.
\end{description}
\end{proof}