הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מרחב ניצב של מרחב נפרש"
(יצירת דף עם התוכן "\begin{remark} $S^\perp=\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp $. \end{remark} \begin{proof} אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 8: | שורה 8: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| − | אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$. | + | אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$. |
| − | + | אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א שמתקיים $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן, | |
| − | אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן, | + | $$\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$$ |
| − | + | ||
| − | $\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$ | + | |
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{remark}
$S^\perp=\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp $.
\end{remark}
\begin{proof}
אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$. אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א שמתקיים $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן, $$\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$$
\end{proof}
