הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מרחב ניצב של מרחב נפרש"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "\begin{remark} $S^\perp=\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp $. \end{remark} \begin{proof} אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S...")
 
מ (3 גרסאות יובאו)
 
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 8: שורה 8:
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
  
אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S  \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S  \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$.
+
אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S  \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S  \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$.  
 
+
אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א שמתקיים $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן,
אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן,
+
$$\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$$
 
+
$\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$
+
  
 
\end{proof}
 
\end{proof}

גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014

\begin{remark}

$S^\perp=\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp $.

\end{remark}

\begin{proof}

אם $v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right ) \right )^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )$, כולל $u\in S$, ולכן $v\in S^\perp$. אם $v\in S^\perp$, אזי $\left \langle v,u \right \rangle=0$ לכל $u\in S$. יהי $u\in\operatorname{Span}\left(S\right)$, ז"א שמתקיים $u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m$, כאשר $u_i\in S$. לכן, $$\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0$$

\end{proof}