הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מרחב עצמי מוכלל והתמונה"
(יצירת דף עם התוכן "הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם. | הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם. | ||
| − | \ | + | \begin{definition} |
| − | יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, $\ | + | יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, $\d\operatorname{im} V=n$, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ערך עצמי של $T$. נסמן |
| + | $$I_\lambda=\operatorname{im}\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]$$ | ||
| − | + | \end{definition} | |
| − | \ | + | \begin{lem} |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 16: | שורה 17: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{lem} | ||
\underline{תזכורת:} | \underline{תזכורת:} | ||
| שורה 21: | שורה 24: | ||
ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה. | ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה. | ||
| − | יהי $E:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, אזי $\dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(im T \right )$. | + | יהי $E:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, אזי $\dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(\operatorname{im} T \right )$. |
| − | \ | + | \begin{proof} |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| − | \item כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, $T$ מתחלף עם $T-\lambda I$ ועם כל חזקה שלו. לכן, אם $v\in I_\lambda$, כלומר קיים $x\in V$ שעבורו \left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v$, אזי | + | \item כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, $T$ מתחלף עם $T-\lambda I$ ועם כל חזקה שלו. לכן, אם $v\in I_\lambda$, כלומר קיים $x\in V$ שעבורו $\left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v$, אזי |
| − | + | $$T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda$$ | |
| − | $T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda$ | + | |
\item נתחיל מלהוכיח ש-$K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$, כלומר שהסכום ישר. | \item נתחיל מלהוכיח ש-$K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$, כלומר שהסכום ישר. | ||
נניח ש-$v\in K_\lambda$, $v\in I_\lambda$. אזי קיים $x\in V$ שעבורו $v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )$, וכן $\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0$. נקבל | נניח ש-$v\in K_\lambda$, $v\in I_\lambda$. אזי קיים $x\in V$ שעבורו $v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )$, וכן $\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0$. נקבל | ||
| − | + | $$\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda$$ | |
| − | $\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda$ | + | |
| − | + | ||
לכן, $\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0$, ולכן $v=0$ | לכן, $\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0$, ולכן $v=0$ | ||
, ומכאן אכן $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$. | , ומכאן אכן $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$. | ||
| − | כעת נרצה להוכיח שהסכום | + | כעת נרצה להוכיח שהסכום (הישר) אכן מכסה את המרחב כולו. לצורך כך, נסתכל על המימדים. ניקח $E=\left(T-\lambda I\right)^n$, ולפי התזכורת (משפט הדרגה להעתקות לינאריות), |
| − | + | $$\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$$ | |
| − | $\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$ | + | |
| − | + | ||
מתקיים $K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V$, וכן | מתקיים $K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V$, וכן | ||
$\dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$ | $\dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$ | ||
| שורה 49: | שורה 47: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור $\left(T-\lambda I\right)^n$. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם.
\begin{definition}
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, $\d\operatorname{im} V=n$, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ערך עצמי של $T$. נסמן $$I_\lambda=\operatorname{im}\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]$$
\end{definition}
\begin{lem}
\begin{enumerate}
\item $I_\lambda$ תת-מרחב אינווריאנטי תחת $T$.
\item $V=K_\lambda\oplus I_\lambda$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\underline{תזכורת:}
ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה.
יהי $E:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, אזי $\dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(\operatorname{im} T \right )$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, $T$ מתחלף עם $T-\lambda I$ ועם כל חזקה שלו. לכן, אם $v\in I_\lambda$, כלומר קיים $x\in V$ שעבורו $\left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v$, אזי $$T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda$$
\item נתחיל מלהוכיח ש-$K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$, כלומר שהסכום ישר.
נניח ש-$v\in K_\lambda$, $v\in I_\lambda$. אזי קיים $x\in V$ שעבורו $v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )$, וכן $\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0$. נקבל $$\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda$$ לכן, $\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0$, ולכן $v=0$ , ומכאן אכן $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$.
כעת נרצה להוכיח שהסכום (הישר) אכן מכסה את המרחב כולו. לצורך כך, נסתכל על המימדים. ניקח $E=\left(T-\lambda I\right)^n$, ולפי התזכורת (משפט הדרגה להעתקות לינאריות), $$\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$$ מתקיים $K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V$, וכן $\dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )$ לכן $V=K_\lambda\oplus I_\lambda$.
\end{enumerate}
\end{proof}
