הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ערך עצמי אפס"
(יצירת דף עם התוכן "<textbf>משפט:</textbf> $\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה. <textit>הוכחה:<\textit> $\Leftarrow$ נניח...") |
|||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | <textbf>משפט:</textbf> | + | <textbf>משפט:</textbf> |
| − | <textit>הוכחה:< | + | $\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה. |
| + | |||
| + | <textit>הוכחה:</textit> | ||
$\Leftarrow$ | $\Leftarrow$ | ||
נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. | נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. | ||
| − | נסמן $v=(\begin{matrix} | + | נסמן $v=\left ( \begin{matrix} |
| − | + | v_1\\ | |
| − | \vdots | + | \vdots \\ |
| − | + | v_n | |
| − | \end{matrix} | + | \end{matrix} \right )$, וכן $A=\left ( \begin{matrix} |
| − | )$, וכן $A=(\begin{matrix} | + | a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ |
| − | a_{11} & \cdots & a_{1n} | + | \vdots & \ddots & \\ \vdots |
| − | \vdots & \ddots & \ | + | a_{n1} & \cdots & a_{nn} |
| − | a_{n1} & \cdots & a_{nn} | + | \end{matrix} \right )$. נוכל להגיד שלפיכך $\left \{ \begin{matrix} |
| − | \end{matrix} | + | a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ |
| − | )$. נוכל להגיד שלפיכך $\ | + | \vdots\\ |
| − | \begin{ | + | a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 |
| − | a_{11} | + | \end{matrix} \right. |
| − | \vdots \\ | + | |
| − | a_{n1} | + | |
| − | \end{ | + | |
$ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה. | $ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה. | ||
$\Rightarrow$ | $\Rightarrow$ | ||
נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. | נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. | ||
גרסה מ־15:01, 10 באוגוסט 2014
<textbf>משפט:</textbf>
$\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.
<textit>הוכחה:</textit>
$\Leftarrow$ נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. נסמן $v=\left ( \begin{matrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right )$, וכן $A=\left ( \begin{matrix} a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \\ \vdots a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right )$. נוכל להגיד שלפיכך $\left \{ \begin{matrix} a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 \end{matrix} \right. $ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.
$\Rightarrow$ נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.
