הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:קיום פולינום מאפס"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{משפט:} לכל מטריצה $A\in M_k\left(\mathbb{F}\right)$ קיים פולינום מאפס. \textit{הוכחה:} נתבונן במרחב הוו...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
לכל מטריצה $A\in M_k\left(\mathbb{F}\right)$ קיים פולינום מאפס. | לכל מטריצה $A\in M_k\left(\mathbb{F}\right)$ קיים פולינום מאפס. | ||
| − | \ | + | \end{thm} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
נתבונן במרחב הווקטורי $V=M_k\left(\mathbb{F} \right )$, | נתבונן במרחב הווקטורי $V=M_k\left(\mathbb{F} \right )$, | ||
| שורה 9: | שורה 11: | ||
נתבונן בקבוצה של איברי $V$ הבאה: $\left\{ I,A,A^2,\dots,A^\ell \right \}$. | נתבונן בקבוצה של איברי $V$ הבאה: $\left\{ I,A,A^2,\dots,A^\ell \right \}$. | ||
| − | בקבוצה הזו יש $\ell+1$ איברים, אך המימד של $V$ הוא $\ell$, ומכאן שהיא תלויה לינארית. לכן, קיימים סקלרים $a_0,a_1,\dots,a_\ell\in\mathbb{F}$ | + | בקבוצה הזו יש $\ell+1$ איברים, אך המימד של $V$ הוא $\ell$, ומכאן שהיא תלויה לינארית. לכן, קיימים סקלרים $a_0,a_1,\dots,a_\ell\in\mathbb{F}$ (לא כולם שווים אפס), כך שמתקיים |
| + | $$a_0I+a_1A+\cdots+a_\ell A^\ell=0$$ | ||
נגדיר פולינום $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$, | נגדיר פולינום $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$, | ||
$f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. | $f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. | ||
| − | עבורו $f\neq 0$ | + | עבורו $f\neq 0$ (כי לא כל הסקלרים הם אפס), וכן $f\left(A\right)=0$ (לפי הבנייה), כדרוש. |
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm}
לכל מטריצה $A\in M_k\left(\mathbb{F}\right)$ קיים פולינום מאפס.
\end{thm}
\begin{proof}
נתבונן במרחב הווקטורי $V=M_k\left(\mathbb{F} \right )$, $\dim V=k^2=\ell$. נתבונן בקבוצה של איברי $V$ הבאה: $\left\{ I,A,A^2,\dots,A^\ell \right \}$.
בקבוצה הזו יש $\ell+1$ איברים, אך המימד של $V$ הוא $\ell$, ומכאן שהיא תלויה לינארית. לכן, קיימים סקלרים $a_0,a_1,\dots,a_\ell\in\mathbb{F}$ (לא כולם שווים אפס), כך שמתקיים $$a_0I+a_1A+\cdots+a_\ell A^\ell=0$$
נגדיר פולינום $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$, $f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. עבורו $f\neq 0$ (כי לא כל הסקלרים הם אפס), וכן $f\left(A\right)=0$ (לפי הבנייה), כדרוש.
\end{proof}
