הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ערך עצמי אפס"
(יצירת דף עם התוכן "<textbf>משפט:</textbf> $\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה. <textit>הוכחה:<\textit> $\Leftarrow$ נניח...") |
|||
| (5 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | \begin{thm} | |
| − | + | $\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה. | |
| − | $\Leftarrow$ | + | \end{thm} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
| + | |||
| + | \begin{description} | ||
| + | |||
| + | \item[$\boxed{\Leftarrow}$] | ||
נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. | נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. | ||
| − | נסמן $v=(\begin{matrix} | + | נסמן |
| − | + | $$v=\left ( \begin{matrix} | |
| − | \vdots | + | v_1\\ |
| − | + | \vdots \\ | |
| − | \end{matrix} | + | v_n |
| − | ) | + | \end{matrix} \right ),\quad A=\left ( \begin{matrix} |
| − | a_{11} & \cdots & a_{1n} | + | a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ |
| − | \vdots & \ddots & \vdots | + | \vdots & \ddots & \vdots \\ |
| − | a_{n1} & \cdots & a_{nn} | + | a_{n1} & \cdots & a_{nn} |
| − | \end{matrix} | + | \end{matrix} \right )$$ |
| − | )$ | + | נוכל להגיד שלפיכך |
| − | \begin{ | + | $$\left \{ \begin{matrix} |
| − | a_{11} | + | a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ |
| − | \vdots \\ | + | \vdots\\ |
| − | a_{n1} | + | a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 |
| − | \end{ | + | \end{matrix} \right. |
| − | $ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה. | + | $$ |
| + | היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה. | ||
| + | |||
| + | \item[$\boxed{\Rightarrow}$] | ||
| + | נניח ש-$A$ אינה הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. | ||
| + | |||
| + | \end{description} | ||
| − | + | \end{proof} | |
| − | + | ||
גרסה אחרונה מ־10:03, 26 באוקטובר 2014
\begin{thm}
$\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{\Leftarrow}$] נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. נסמן $$v=\left ( \begin{matrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right ),\quad A=\left ( \begin{matrix} a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right )$$ נוכל להגיד שלפיכך $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 \end{matrix} \right. $$ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.
\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח ש-$A$ אינה הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.
\end{description}
\end{proof}
