הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←דוגמאות) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגיל) |
||
שורה 61: | שורה 61: | ||
= \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v) | = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v) | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | == משפט ההגדרה== | ||
+ | יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהי <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math> ויהיו <math>w_{1},\dots,w_{n}\in W</math> | ||
+ | וקטורים כלשהם. | ||
+ | |||
+ | אזי קימת ה"ל יחידה <math>T:V\to W</math> כך ש <math>T(v_{i})=w_{i}</math> לכל <math>i</math> | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה''' ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל '''V''' | ||
+ | |||
+ | ===דוגמאות === | ||
+ | |||
+ | 1. | ||
+ | <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה'''ה"ל <math>T:V\to V</math> | ||
+ | המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math> | ||
+ | שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: | ||
+ | <math> | ||
+ | T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ | ||
+ | =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> |
גרסה מ־15:08, 19 ביולי 2015
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל . יהי בסיס ל ויהיו וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1. מצא את הה"ל המקימת . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x