הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגיל) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←משפט) |
||
שורה 105: | שורה 105: | ||
=a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> | =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> | ||
+ | == הגדרות== | ||
+ | תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. | ||
+ | #הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>kerT=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\subset V</math> | ||
+ | #התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImgT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\subset W</math> | ||
+ | #הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImgT)</math> | ||
+ | |||
+ | === דוגמאות === | ||
+ | 1. | ||
+ | יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>ונסתכל על העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math>. | ||
+ | אזי | ||
+ | # <math>kerT=N(A)</math> | ||
+ | # <math>ImT=C(A)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
== משפט == | == משפט == | ||
גרסה מ־15:38, 19 ביולי 2015
תוכן עניינים
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו . אזי העתקה המוגדרת אינה ה"ל.
כי למשל
שלא שווה ל
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל . יהי בסיס ל ויהיו וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1. מצא את הה"ל המקימת . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x
הגדרות
תהא ה"ל.
- הגרעין של מוגדר
- התמונה של מוגדרת
- הדרגה של מוגדרת
דוגמאות
1. יהיו . תהאונסתכל על העתקה המוגדרת . אזי
משפט
תהא ה"ל.
אזי חח"ע מתקיים כי
תרגיל:
תהא ה"ל. ויהיו וקטורים ב אזי
- אם בת"ל אז בת"ל
- אם חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם בת"ל אז
הוכחה
- נניח . נפעיל על שני האגפים ונקבל מלינאריות של כי . כיוון שנתון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
- נניח כי . מלינאריות נקבל כי כיוון ש חח"ע נקבל כי . כיוון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
תרגיל
האם קימת ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי חח"ע אזי כיוון ש בתל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
תרגיל
האם קימת ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי על אזי יש מקור ל . נסמן את המקורות ב כלומר . כיוון ש בת"ל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.