הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגיל) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←משפט הדרגה) |
||
שורה 251: | שורה 251: | ||
== משפט הדרגה == | == משפט הדרגה == | ||
+ | |||
+ | תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. אזי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV</math> | ||
+ | |||
+ | '''הערה''': שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> ומשפט <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math> (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל) | ||
+ | . | ||
== הפיכות ואיזמורפיזם == | == הפיכות ואיזמורפיזם == |
גרסה מ־08:18, 20 ביולי 2015
תוכן עניינים
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו . אזי העתקה המוגדרת אינה ה"ל.
כי למשל
שלא שווה ל
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל . יהי בסיס ל ויהיו וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1. מצא את הה"ל המקימת . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x
הגדרות
תהא ה"ל.
- הגרעין של מוגדר
- התמונה של מוגדרת
- הדרגה של מוגדרת
דוגמאות
1. יהיו . תהאונסתכל על העתקה המוגדרת . אזי
2. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס והעל הלינארית המוגדרת .
אזי
משפט
תהא ה"ל.
אזי חח"ע מתקיים כי
תרגיל:
תהא ה"ל. ויהיו וקטורים ב אזי
- אם בת"ל אז בת"ל
- אם חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם בת"ל אז
הוכחה
- נניח . נפעיל על שני האגפים ונקבל מלינאריות של כי . כיוון שנתון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
- נניח כי . מלינאריות נקבל כי כיוון ש חח"ע נקבל כי . כיוון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
תרגיל
האם קימת ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי חח"ע אזי כיוון ש בתל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
תרגיל
האם קימת ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי על אזי יש מקור ל . נסמן את המקורות ב כלומר . כיוון ש בת"ל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
תרגיל
תהא ה"ל. תהא תת קבוצה. אזי
הוכחה:
() יהא צ"ל באיברי אזי הוא איבר כללי.
כעת שזה צ"ל באיברי ולכן שייך ל
() יהא צ"ל באיברי אזי הוא מהצורה כאשר
מלינאריות נקבל כי
מסקנה לכל תת מרחב מתקיים כי תת מרחב.
תרגיל
יהיו והמישור
מצא ה"ל כך ש וגם
פתרון
נשלים לבסיס ל V בעזרת
לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר בעזרת הבסיס.
נגדיר
ואז ולכן
בכיוון השני, יהיה אזי ולכן ואז
בנוסף, באופן דומה,
כנדרש.
משפט הדרגה
תהא ה"ל. אזי
הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה ומשפט (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
.