הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←משפט) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←דוגמאות) |
||
שורה 104: | שורה 104: | ||
T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ | T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ | ||
=a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> | =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> | ||
+ | |||
+ | 2. | ||
+ | יהיו <math>\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmarix}</math> | ||
== הגדרות== | == הגדרות== |
גרסה מ־14:39, 21 ביולי 2015
תוכן עניינים
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו . אזי העתקה המוגדרת אינה ה"ל.
כי למשל
שלא שווה ל
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל . יהי בסיס ל ויהיו וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1. מצא את הה"ל המקימת . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x
2.
יהיו עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \end לא מוכרת): \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmarix}
הגדרות
תהא ה"ל.
- הגרעין של מוגדר
- התמונה של מוגדרת
- הדרגה של מוגדרת
דוגמאות
1. יהיו . תהאונסתכל על העתקה המוגדרת . אזי
2. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס והעל הלינארית המוגדרת .
אזי
משפט
תהא ה"ל.
אזי חח"ע מתקיים כי
תרגיל:
תהא ה"ל. ויהיו וקטורים ב אזי
- אם בת"ל אז בת"ל
- אם חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם בת"ל אז
הוכחה
- נניח . נפעיל על שני האגפים ונקבל מלינאריות של כי . כיוון שנתון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
- נניח כי . מלינאריות נקבל כי כיוון ש חח"ע נקבל כי . כיוון ש בת"ל נקבל כי כנדרש.
תרגיל
האם קימת ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי חח"ע אזי כיוון ש בתל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
תרגיל
האם קימת ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי על אזי יש מקור ל . נסמן את המקורות ב כלומר . כיוון ש בת"ל גם בת"ל אבל שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
תרגיל
תהא ה"ל. תהא תת קבוצה. אזי
הוכחה:
() יהא צ"ל באיברי אזי הוא איבר כללי.
כעת שזה צ"ל באיברי ולכן שייך ל
() יהא צ"ל באיברי אזי הוא מהצורה כאשר
מלינאריות נקבל כי
מסקנה לכל תת מרחב מתקיים כי תת מרחב.
תרגיל
יהיו והמישור
מצא ה"ל כך ש וגם
פתרון
נשלים לבסיס ל V בעזרת
לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר בעזרת הבסיס.
נגדיר
ואז ולכן
בכיוון השני, יהיה אזי ולכן ואז
בנוסף, באופן דומה,
כנדרש.
תרגיל
תהא ה"ל, ת"מ. נתון כי . הוכח כי
הוכחה:
נסתכל על ה"ל אזי מתקיים כי ולכן חח"ע. אם נבחר בסיס ל אזי גם כן בסיס
ואז
משפט הדרגה
תהא ה"ל. אזי
הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה ומשפט (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
תרגיל
נסתכל על ה"ל המוגדרת מצt בסיס לגרעין העתקה.
פתרון:
היא על כי לכל יש מקור. למשל . לכן ממשפט הדרגה נסיק כי
כעת לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא מטריצות בת"ל ששיכות לגרעין ואז הם יהיו בסיס.
למשל המטריצות
בקבוצה זאת יש אכן מטריצות בת"ל
הפיכות ואיזמורפיזם
ה"ל היא הפיכה אם יש ה"ל כך ש: . במקרה זה מסמנים
משפט הפיכה אמ"מ חח"ע ועל
(שימו לב שידוע שפונקציה חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה הפונקציה היא ה"ל)
תכונות
- אם הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים
- הפיכות אמ"מ ההרכבה הפיכה. במקרה זה מתקיים
- אם ה"ל הפיכה אז ההופכית היא
איזומורפיזם
הגדרה ה"ל תקרא
- מונומורפיזם אם חח"ע
- אפימורפיזם אם על
- איזומורפיזם אם חח"ע ועל (כלומר הפיכה). במקרה זה נאמר ש ו איזומורפים ונסמן
הערה: מתנהג כמו יחס שקילות. כלומר
הערה 2 מרחבים איזומורפים בעצם אומר שהם "אותו דבר" במובן מסוים. יש להם אותו מבנה במובן שאם "נטשטש" את זהות האיברים ונסתכל רק על המבנה (למשל שחיבור של שני וקטורים מסוימים שווה וקטור מסוים אחר) אז נראה אותו דבר בשני המרחבים.
דוגמא: המוגדרת היא איזומורפיזם.
משפט
יהיו שני מרחבים וקטורים. אזי
"הוכחה"
() נבחר בסיס עבור . מהנתון, קיימת הפיכה. לכן ובנוסף, בסיס ל . זה אומר שהמימדים שווים.
() נבחר בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר ע"י . במקרה זה ה"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים.
הערה אפשר למצוא את איזו' בצורה מפורשת ע"י הצגה לפי בסיס
אם נגדיר המוגדרת ע"י כאשר היא איזומורפיזם.
כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים זה פשוט יהיה כאשר בסיס ל ו- בסיס ל
דוגמא