הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2"
(←דוגמאות) |
(←דוגמאות) |
||
שורה 43: | שורה 43: | ||
3) לכל <math>\alpha\geq0 </math> <math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0 </math>. | 3) לכל <math>\alpha\geq0 </math> <math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0 </math>. | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל:=== | ||
+ | מצא את גבול הסדרה <math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n} </math> והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול. | ||
+ | |||
+ | ===פתרון:=== | ||
+ | <math>\frac{n-1}{n}=1+\frac{1}{n} </math> ולכן נסיק שהגבול הוא 1. יהיה <math>\varepsilon>0 </math>, רוצים להוכיח שקיים <math>n_{0} </math> כך שלכל <math>n\geq n_{0} </math> מתקיים <math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon </math>. | ||
+ | <math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon </math> ולכן כמו מקודם מבחר <math>n_{0}>\frac{1}{\varepsilon} </math> כך שלכל <math>n\geq n_{0} </math> מתקיים <math>\mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon </math>. |
גרסה מ־17:53, 27 באוקטובר 2015
תוכן עניינים
סדרות
הגדרה
סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה שלכל מתאימה מספר ממשי שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.
סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: שנסמנה , והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר .
נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.
דוגמאות
1) הסדרה נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה .
2) אם הסדרה נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא .
3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה .
הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)
יהי ויהי , סביבת ה-אפסילון של שמסומנת ב- ומוגדרת ע"י . כדאי לחשוב על כקבוצת הנקודות שמרחקם מ- קטן מ-. אם ורק אם .
הגדרה (גבול של סדרה)
תהי סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה אם לכל קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי כך שלכל מתקיים .
במילים: לכל יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה . (במילים אחרות החל ממקום כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה של L).
אם L הוא גבול של סדרה אז נרשום או .
אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.
דוגמאות
1) הסדרה מתכנסת לגבול L=0, או בקיצור .
הוכחה: נוכיח ש-0 הוא באמת הגבול של הסדרה לפי ההגדרה של הגבול
יהי , רוצים להוכיח שקיים מקום בסדרה שנסמנו ב- כל שהחל מהמקום הזה כלומר עבור כל מתקיים .
מתקיים ולכן אם נבחר נקבל .
2) אם הסדרה הקבועה ולכן הגבול שלה הוא .
3) לכל .
תרגיל:
מצא את גבול הסדרה והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול.
פתרון:
ולכן נסיק שהגבול הוא 1. יהיה , רוצים להוכיח שקיים כך שלכל מתקיים .
ולכן כמו מקודם מבחר כך שלכל מתקיים .