הבדלים בין גרסאות בדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | ==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== | + | ==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון== |
===מבחן ההשוואה הראשון=== | ===מבחן ההשוואה הראשון=== | ||
− | יהי <math> a \in \ | + | יהי <math>a\in\R</math>, ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge 0</math>. |
אזי מתקיים: | אזי מתקיים: | ||
− | <math> \ | + | <math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס |
− | <math> \ | + | <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתבדר |
<font size=4 color=#a7adcd> | <font size=4 color=#a7adcd> | ||
שורה 13: | שורה 13: | ||
</font> | </font> | ||
− | קבע האם <math> \ | + | קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר |
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה: | + | נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה: |
− | <math> \ | + | <math>\forall\ x>1 : \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math> |
− | <math> \ | + | <math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac1x dx</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. |
===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ||
− | + | יהי <math>a\in\R</math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math> | |
− | יהי <math> a \in \ | + | |
− | <math>\ | + | |
יהי הגבול: | יהי הגבול: | ||
− | <math>\ | + | <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> |
'''אזי:''' | '''אזי:''' | ||
− | אם <math>L>0 , L\in\ | + | אם <math>L>0 , L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס. | ||
+ | אם <math>L=\infty</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס. | ||
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
[[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]] | [[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]] |
גרסה מ־22:07, 27 בינואר 2016
תוכן עניינים
אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון
מבחן ההשוואה הראשון
יהי , ותהי נקודה כך שמתקיים .
אזי מתקיים:
מתכנס מתכנס
מתבדר מתבדר
דוגמא.
קבע האם מתכנס או מתבדר
פתרון. נשים לב כי היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
ולכן
מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי
יהי , ותהיינה שתי פונקציות כך ש:
יהי הגבול:
אזי:
אם אז ו- מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם אז מתכנס מתכנס.
אם אז מתכנס מתכנס.