הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות *<math>\sum\...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | ||
− | + | *<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha n)^n}{n!}</math> | |
− | + | ||
− | *<math>\ | + | |
− | + | ||
ראשית, נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''': | ראשית, נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''': | ||
+ | :<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{(\alpha n)^n}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{(\alpha n)^n} | ||
+ | =\lim_{n\to\infty}\alpha\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\alpha\cdot e</math> | ||
− | + | כעת, אם <math>0<\alpha<\dfrac1e</math> הטור '''מתכנס'''. | |
− | + | אם <math>\alpha>\dfrac1e</math> הטור '''מתבדר'''. | |
+ | אחרת: | ||
− | + | כפי שראינו ב[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/e|ערך על המספר e]], לכל <math>n</math> מתקיים: | |
+ | :<math>\left(1+\frac1n\right)^{n+1}>e</math> | ||
− | + | ולכן, באופן דומה ל[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6|תרגיל קודם]] מתקיים: | |
+ | :<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{e}>\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}=\dfrac{\dfrac1{n+1}}{\dfrac1n}</math> | ||
− | + | ולכן הטור '''מתבדר''', כיון שהטור ההרמוני מתבדר. |
גרסה אחרונה מ־19:41, 15 בפברואר 2017
ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):
כעת, אם הטור מתכנס.
אם הטור מתבדר.
אחרת:
כפי שראינו בערך על המספר e, לכל מתקיים:
ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:
ולכן הטור מתבדר, כיון שהטור ההרמוני מתבדר.