הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"
(←2) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
− | *<math>x^2+2x+1\ | + | *<math>x^2+2x+1\le0</math> |
− | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1 = 0</math>. | + | נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1=0</math> . |
− | לפי | + | לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> . |
− | המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב<math>-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x). | + | המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>). |
פתרון: <math>x=-1</math> | פתרון: <math>x=-1</math> | ||
− | *<math>(1-x)(x+6)> 0</math> | + | *<math>(1-x)(x+6)>0</math> |
− | נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב<math>x=1 | + | נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> . |
− | אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים | + | אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> , |
− | וערכים חיוביים | + | וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> . |
פתרון: <math>-6<x<1</math> | פתרון: <math>-6<x<1</math> | ||
− | *<math>-3x^2 +6x - 1 \ | + | *<math>-3x^2+6x-1\ge0</math> |
− | מתי | + | נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math> |
המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו. | ||
− | פתרון: <math>1 - | + | פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math> |
גרסה מ־18:04, 16 בפברואר 2017
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: .
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב-
וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף
).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- .
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של
שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר
או
,
וערכים חיוביים כאשר
.
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ,
,
, ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה
אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב
. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב
או
: מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון,
, כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור n זוגי היא:
עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי השוויון
ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל
, לכן
וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
פתרון:
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב לכן נתבונן במקרים:
: אי השוויון הוא
לכן
ו
. התשובה היא
: אי השוויון הוא
לכן
לכן
. התשובה היא
. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. ביטוי זה חיובי עבור
או
(בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא
. נפשט ונקבל
ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב. אם
נקבל
וזה לא יתכן. אם
נקבל
וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או
.
: נקבל אי שוויון
. נפשט ונקבל
והפתרון של זה הוא
. סה"כ:
: נקבל אי שוויון
ואחרי פישוט:
. הפתרון הוא
או
לכן סה"כ:
.
: נקבל
. נפשט:
והפתרון הוא
. לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב . נחלק למקרים:
:
או
לכן סה"כ
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
או
. לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי השוויון הוא
והוא תמיד מתקיים
: אי השוויון הוא
והוא מתקיים עבור
לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא
לכן הפתרון הוא
ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי השוויון הוא
וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי השוויון הוא
וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון:
נשים לב שמתקיים: לכל x:
:
:
:
לכן גם מתקיים לכל x
:
. הפתרון הוא
:
לכן זה פיתרון.
:
. נכון לכל x.
:
. כל התחום הוא פתרון
:
. גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון:
:
. בגלל שאנחנו בתחום
נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל:
. לאי שוויון זה אין פתרון בתחום
: נקבל
ואין לזה פתרון בתחום
: נציב ונקבל שזה לא פתרון
: נקבל
והפתרון הוא
: נקבל
והפתרון הוא כל התחום
פתרון: או