הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות) |
|||
שורה 246: | שורה 246: | ||
==הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות== | ==הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות== | ||
+ | |||
+ | ===הקדמה - פונקציות בשני משתנים=== | ||
+ | |||
+ | *נגזרות חלקיות | ||
+ | **דוגמא עבור <math>f(x,y)=x^2+xy</math> מתקיים <math>f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y</math> ו<math>f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x</math> | ||
+ | *עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי <math>f_{xy}=f_{yx}</math> (כלומר סדר הנגזרות לא משנה. | ||
+ | *כלל השרשרת: אם <math>g(t)=f(x(t),y(t))</math> אזי <math>g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)</math> | ||
+ | *בפרט, <math>\frac{d}{dx}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'</math> |
גרסה מ־14:55, 17 במרץ 2018
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה
. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה
.
- נסמן ב
את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
היא המהירות
היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה
, הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן
ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן
ולכן גם
.
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה
.
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי
.
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף
נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית
כאשר
היא הריבית השנתית.
המשוואה ![y'=r\cdot y](/images/math/1/f/b/1fb26e2b70e99e1416c60408e52568c3.png)
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר ומעלה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה
היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה
היא משוואה מסדר ראשון.
- המשוואה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה
היא מסדר 3 ומעלה 2.
- המשוואה
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה
.
- נהוג גם להחליף
ולכן המשוואה תרשם כך
.
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה
, כלומר
.
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים
, כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה
כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי
.
- נשים לב כי הנחנו כאן כי
.
- כעת
.
.
- וביחד
.
- לכן
.
- לכן
.
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב)
.
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה
שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה
.
- מתקיים כי
וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה
.
- זוהי משוואה פרידה
.
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו
מחוץ לתחום
.
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- פונקציה
נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל
מתקיים כי
.
- לדוגמא
הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה
היא מהצורה
לכל
אם"ם היא הומוגנית מסדר
לכל
.
- הוכחה:
- אם
אזי לכל
מתקיים
.
- אם
, נציב
ונקבל כי
.
- אם
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה
כאשר
הומוגנית מסדר
.
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה
באופן הבא:
- ראשית נסמן
.
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה
, ונקבל כי
.
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה
.
- נפריד את המשתנים
.
- ולכן
.
- נמצא את
ונציב בחזרה
.
- ראשית נסמן
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה
.
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה
.
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית
היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל
.
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי
.
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע
פונקציה
, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה
כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב
במשוואה
.
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם
.
- כלומר
.
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית
הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו
:
- ראשית, נשים לב כי
ו
.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
- ראשית, נשים לב כי
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה
נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע
ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע
, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה
.
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר
אנו מתכנסים למהירות הסופית
.
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית
.
- ולכן הפתרון הוא
.
- וכאשר
המהירות שואפת למהירות הסופית
.
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה
עבור
.
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי
, ונחלק ב
.
- נקבל את המשוואה
.
- נציב
.
- נגזור
.
- נקבל משוואה לינארית
.
- נפתור עבור
ונציב חזרה לקבל
.
- דוגמא - נפתור את המשוואה
.
- נציב
.
- נקבל
ולכן
.
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- נציב
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
ולכן
(לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב
.
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר
המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור
מתקיים
ו
- דוגמא עבור
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי
(כלומר סדר הנגזרות לא משנה.
- כלל השרשרת: אם
אזי
- בפרט,