הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
מ (המשך יבוא) |
מ |
||
(11 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן: | ||
+ | *<math>c</math> הוא קבוע. | ||
+ | *<math>f,g</math> פונקציות. | ||
+ | *הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math> . | ||
+ | *אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math>"). | ||
+ | *<math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש- <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> . | ||
+ | :*<math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math> . | ||
+ | :*<math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש- <math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו- <math>\forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math> . | ||
+ | |||
=אינטגרלים= | =אינטגרלים= | ||
− | * אם <math>F | + | *אם <math>F,G</math> קדומות ל- <math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש- <math>F(x)=G(x)+c</math> . |
− | + | *אם <math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> . | |
− | + | *אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ- <math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו- <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math> . | |
− | + | *לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> . | |
− | + | *לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f</math> . | |
− | + | *תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math> . | |
− | + | *נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> . | |
− | + | *נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש- <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math> . | |
− | + | *אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית. | |
− | + | :*{{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית. | |
− | + | ::*{{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית. | |
− | + | * אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית. | |
− | + | * נניח כי <math>a<c<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> , ב- <math>[a,c]</math> וב- <math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> , ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> . | |
− | + | :*{{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו- <math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f</math> . | |
− | + | *אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> . | |
− | + | *הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות. | |
− | * | + | *'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> . |
− | : | + | *'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> . |
− | + | :*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> . | |
− | + | *'''הכללה לאי-שוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו- <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math> . | |
− | + | *אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> . | |
− | + | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> . | |
− | + | ::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> . | |
− | + | *'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש- <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>). | |
− | ::* | + | *'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math> . |
− | + | *לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. | |
− | + | *'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> . | |
− | :* לכל <math>x\in[a,b]</math> | + | :*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math> |
− | :* ''' | + | *'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> . |
− | * אם <math>f</math> | + | :*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f</math> |
+ | *כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים. | ||
+ | *נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> . | ||
+ | *אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> . | ||
+ | *אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . | ||
+ | *שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . | ||
+ | *'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> . | ||
+ | *'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> . | ||
+ | *'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big|</math> . | ||
+ | *'''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math> . | ||
+ | *תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math> . | ||
+ | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> ויהי <math>a<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math> . | ||
+ | *<math>f</math> מונוטונית עולה ב- <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x)</math> . | ||
+ | *<math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math> . | ||
+ | *'''מבחן ההשוואה:''' נניח <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. | ||
+ | *'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R</math> . אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. | ||
+ | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד. | ||
+ | *'''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum\limits_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס. | ||
+ | :*בפרט מתקיים <math>\sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n)</math> . | ||
+ | *תהא <math>f</math> מוגדרת ב- <math>[a,\infty)</math> . <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אזי <math>\Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon</math> . | ||
+ | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> . | ||
+ | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו. | ||
+ | *'''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> . כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ו- <math>\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס. | ||
+ | *'''סכימה בחלקים:''' <math>\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k</math> . | ||
+ | *'''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum\limits_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח <math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math> . אזי <math>\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס. | ||
+ | *אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> . | ||
+ | *עבור <math>c\in(a,b)</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> , <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math> . | ||
+ | *תהי <math>f</math> מונוטונית ב- <math>(a,b]</math> . אזי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב- <math>(a,b]</math> . | ||
+ | *אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math> . | ||
+ | *'''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- <math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | *'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד. | ||
+ | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math> . | ||
+ | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> . אם <math>\int\limits_a^b|f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | =סדרות וטורים של פונקציות= | ||
+ | ==התכנסות במ"ש== | ||
+ | ===סדרות=== | ||
+ | * <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0</math>. | ||
+ | * נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. | ||
+ | * <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. | ||
+ | * <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>. | ||
+ | * סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math>. | ||
+ | * '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש. | ||
+ | |||
+ | ===טורים=== | ||
+ | * טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>. | ||
+ | * '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בהחלט במ"ש על <math>I</math>. | ||
+ | * נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. | ||
+ | * <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>. | ||
+ | * <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>. | ||
+ | |||
+ | ====טורי חזקות==== | ||
+ | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>. | ||
+ | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>. | ||
+ | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונקציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>. | ||
+ | :* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>. | ||
+ | * יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>. | ||
+ | * יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>. | ||
+ | * '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>. | ||
+ | * '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו. | ||
+ | |||
+ | =השתנות חסומה= | ||
+ | * <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי <math>f</math> חסומה. | ||
+ | * <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש <math>g,h</math> מונוטוניות עולות בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>. | ||
+ | * תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>. | ||
+ | * תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. |
גרסה אחרונה מ־14:21, 6 במרץ 2019
במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
הוא קבוע.
פונקציות.
- הקטע הנתון הוא הקטע הסגור
.
- אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "
חסומה" = "
חסומה ב-
").
היא חלוקה
של הקטע הנתון כך ש-
.
היא העדנה של
.
היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה
כך ש-
ו-
.
תוכן עניינים
אינטגרלים
- אם
קדומות ל-
בנקודה כלשהי אז קיים
כך ש-
.
- אם
חסומה ב-
אזי
.
- אם
(כלומר,
מתקבלת מ-
ע"י הוספת
נקודות) ו-
חסומה בקטע אזי
וכן
.
- לכל חלוקה
של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של
), אם
חסומה בקטע אזי
.
- לכל
אינטגרבילית מתקיים
.
- תהי
חסומה. אזי
וגם
.
- נניח כי
חסומה.
אינטגרבילית אם"ם
.
- נניח כי
חסומה.
אינטגרבילית אם"ם לכל
קיימת חלוקה
של
כך ש-
.
- אם
רציפה אז
אינטגרבילית.
- הכללה: אם
רציפה וחסומה בקטע הפתוח
אזי
אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם
רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי
אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם
- הכללה: אם
- אם
מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
- נניח כי
. אזי
אינטגרבילית ב-
, ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן אז
.
- הכללה: עבור
כנ"ל ו-
(הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים
.
- הכללה: עבור
- אם
חסומה אז
. יתר על כן,
ו-
.
- הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
- לינאריות: עבור
אינטגרביליות מתקיים
.
- מונוטוניות: אם
אינטגרביליות וכן
אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
אינטגרביליות ואי-שלילית אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
- הכללה לאי-שוויון המשולש: אם
אינטגרבילית אז
אינטגרבילית ו-
.
- אם
אינטגרבילית וחסומה אז
.
- מקרה פרטי: אם
ו-
אינטגרבילית אז
.
- מקרה פרטי: אם
(פונקציה קבועה) אז
.
- מקרה פרטי: אם
- מקרה פרטי: אם
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי
אינטגרבילית ותהי
כך ש-
. אזי
רציפה וכן לכל נקודה
שבה
רציפה,
קדומה ל-
(כלומר,
גזירה ב-
כך ש-
).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי
רציפה. אזי
.
- לכל
רציפה יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי
רציפות. אזי
.
- שיטת ההצבה:
.
- כל פונקציה רציונאלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים
כאשר
ול-
אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-
אי-שלילית בקטע
סביב ציר ה-
הוא
.
- אם
רציפה אז הממוצע שלה בקטע
הוא
.
- אם
גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע
הוא
.
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של
רציפה סביב ציר ה-
בקטע
הוא
.
- קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא
בעלת נגזרת
-ית רציפה. אזי
כאשר
הוא פיתוח טיילור מסדר
של
והשארית היא
עבור
כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב
.
- קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא
בעלת נגזרת רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
. אזי
והשארית חסומה ע"י
כאשר
.
- קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא
בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
. אזי
והשארית חסומה ע"י
כאשר
.
- קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא
בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
ו-
זוגי. אזי
והשגיאה חסומה ע"י
כאשר
.
- תהיינה
אינטגרביליות ב-
. אזי
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
ויהי
. אזי
אינטגרבילית ב-
אם"ם
אינטגרבילית ב-
ואם כן
.
מונוטונית עולה ב-
. אזי
קיים אם"ם
ואם כן
.
אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, ואם לא אז
.
- מבחן ההשוואה: נניח
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וכן
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וכן
. אזי אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא
אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-
עבור
כלשהו. אזי
מתכנס אם"ם
מתכנס.
- בפרט מתקיים
.
- בפרט מתקיים
- תהא
מוגדרת ב-
.
קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל
קיים
כך שאם
אזי
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אם
אינטגרבילית בקטע אזי גם
אינטגרבילית בו.
- מבחן דיריכלה: תהא
רציפה ב-
ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
. כמו כן תהא
מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-
ו-
. אזי
מתכנס.
- סכימה בחלקים:
כאשר
.
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור
יש סכומים חלקיים חסומים ונניח
סדרה מונוטונית כך ש-
. אזי
מתכנס.
- אם
אינטגרביליות ב-
אזי לכל
מתקיים
.
- עבור
ו-
אינטגרבילית מקומית ב-
,
אינטגרבילית בקטע אם"ם
אינטגרבילית ב-
, ואם כן
.
- תהי
מונוטונית ב-
. אזי
קיים אם"ם
חסומה ב-
.
- אם
אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-
אז
אינטגרבילית ב-
אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
- מבחן ההשוואה:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-
וכן
. אם
מתכנס אזי
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וקיים
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
סדרות וטורים של פונקציות
התכנסות במ"ש
סדרות
-
במ"ש על
, כלומר
, אם"ם
.
- נניח כי
במ"ש ב-
, ועבור
כלשהו
רציפה ב-
לכל
. אזי
רציפה ב-
.
-
במ"ש ב-
וכל
אינטגרבילית בקטע. אזי
אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
-
היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-
, המתכנסות במ"ש ב-
לפונקציה
. כמו כן,
מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-
. אזי
מוגדרת ב-
ומתקיים
.
- סדרת פונקציות
מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר
.
- משפט דיני: נתון כי כל
רציפה בקטע סגור
והסדרות
עולות לכל
או יורדות לכל
. כמו כן,
נקודתית ו-
רציפה ב-
. אזי
במ"ש.
טורים
- טור פונקציות
מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר
.
- מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל
מוגדרת ב-
וחסומה שם, כלומר
עבור
כלשהו, וכן
מתכנס במובן הצר. אזי
מתכנס בהחלט במ"ש על
.
- נתון כי כל
רציפה ב-
וכן
במ"ש על
. אזי
רציפה ב-
.
-
במ"ש על
וכל
אינטגרבילית ב-
. אזי
אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
-
היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-
. הטור
מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות
מתכנס במ"ש על
. אזי
מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה
כך ש-
.
טורי חזקות
- יהי
טור חזקות. רדיוס ההתכנסות
מקיים שאם הנקודה
מקיימת
אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם
הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-
לכל
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אם קיים
במובן הרחב אזי
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי
היא פונקציה המוגדרת ב-
, כך שנגזרתה בקטע זה היא
.
- הכללה: בתנאים הללו,
גזירה אינסוף פעמים ו-
לכל
. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא
.
- הכללה: בתנאים הללו,
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי לכל
מתקיים
, ז"א הטור הוא טור טיילור של
סביב
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי
אינטגרבילית ב-
ומתקיים לכל
בקטע
. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא
.
- משפט היחידות לטורי חזקות: אם
לכל
אזי
.
- משפט אבל: נניח ש-
טור חזקות בעל רדיוס התכנסות
. אם
קיים אזי
קיים ושווה לו, ואם
קיים אזי
קיים ושווה לו.
השתנות חסומה
-
בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי
חסומה.
-
בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש
מונוטוניות עולות בקטע כך ש-
.
- תהי
בעלת השתנות חסומה ב-
. אזי לכל
קיים
ולכל
קיים
.
- תהי
בעלת השתנות חסומה ב-
. אזי
אינטגרבילית ב-
.