אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....

גבול של סדרה: נאמר שסדרה [math]\displaystyle{ \{z_n\} }[/math] מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ z }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math] אם מתקיים [math]\displaystyle{ |z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei }[/math]. הוכחה: [math]\displaystyle{ |z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.

2. [math]\displaystyle{ z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i }[/math] בדומה...

טענות

בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z }[/math]

2. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w }[/math]

3. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w }[/math]

הוכחה:

1. [math]\displaystyle{ |cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ |(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ |z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z| }[/math]

כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

עוד ראיתם: בהינתן סדרה מרוכבת [math]\displaystyle{ z_n=a_n+b_ni }[/math] מתקיים שהסדרה [math]\displaystyle{ z_n }[/math] מתכנסת אם ורק אם הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] מתכנסות.

תרגילים

תרגיל

תהיינה [math]\displaystyle{ r_n,\theta_n }[/math] סדרות ממשיות, ותהי [math]\displaystyle{ z_n=r_n\text{cis}\theta_n }[/math] סדרה מרוכבת. הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ r_n\to 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ z_n\to 0 }[/math].

פתרון

נוכיח לפי הגדרה:

[math]\displaystyle{ |z_n-0|=|z_n|=r_n\to 0 }[/math].

דוגמא

נסמן [math]\displaystyle{ z=\frac{2}{5}\text{cis}30 }[/math] ונתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ z_n=z^n }[/math]. האם היא מתכנסת?

כן! [math]\displaystyle{ z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n=(\frac{2}{5})^n\text{cis}30n }[/math]. כיון שהסדרה [math]\displaystyle{ r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0 }[/math] נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.

תרגיל

מצאו את הגבול של הסדרות הבאות:

א. [math]\displaystyle{ z_n=(2-\frac{1}{n})\text{cis}\frac{\pi}{3} }[/math].

ב. [math]\displaystyle{ z_n=(1+\frac{2}{n})^n-\sqrt[n]{n}i }[/math].

ג. [math]\displaystyle{ z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i }[/math].

ד. [math]\displaystyle{ z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i }[/math], והסדרה היא [math]\displaystyle{ z_n=z^n }[/math].

תרגיל

ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

פתרון

כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת [math]\displaystyle{ z_n=(-1)^n }[/math].

הערה: במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: [math]\displaystyle{ z_n=\text{cis}n }[/math], כאשר מסתכלים על הזוית במעלות. הסדרה לא מתכנסת לאף מספר כי תמיד נעים על מעגל היחידה. לכל [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] אפשר למצוא [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ z_n }[/math] נמצא באיזה רביע שנרצה.