משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
=האינטגרל הלא מסויים=
=האינטגרל הלא מסויים=
'''הגדרה:''' אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות <math>\int\limits_a^b f</math> שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - <math>\int f</math>, שפתרונו פשוט <math>F(x)+c</math> עבור F פונקציה קדומה ל-f.
'''הגדרה:''' אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות <math>\int\limits_a^b f</math> שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - <math>\int f</math>, שפתרונו פשוט <math>F(x)+c</math> עבור F פונקציה קדומה ל-f וקבוע c.


==אינטגרלים פשוטים==
==אינטגרלים פשוטים==
שורה 6: שורה 6:
<math>\begin{array}{l r|l}
<math>\begin{array}{l r|l}


\underline{f(x)} && \underline{\int f(x)\mathrm dx\ {\color{Gray}-\text{ constant}}}\\
\underline{f(x)} && \underline{\int f(x)\mathrm {dx}\ {\color{Gray}-\text{constant}}}\\


c && cx\\
c && cx\\
שורה 17: שורה 17:
a^x & (1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\
a^x & (1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\
\frac1{1+x^2} && \arctan(x)\\
\frac1{1+x^2} && \arctan(x)\\
\frac1{a^2+x^2} && \frac1a\arctan\left(\frac xa\right)\\
\frac1{a^2+x^2} && \frac1a\arctan\left(\frac {x}{a}\right)\\
\frac1\sqrt{1-x^2} && \arcsin(x)\\
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && \arcsin(x)\\
\frac1\sqrt{a^2-x^2} && \arcsin\left(\frac xa\right)\\
\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} && \arcsin\left(\frac xa\right)\\


\end{array}</math>
\end{array}</math>
שורה 25: שורה 25:


===בדיקות===
===בדיקות===
# נבדוק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}}
# נבדוק <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים  
# <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac1{a^2+x^2}</math> {{משל}}
<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}}
# <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac1\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac1\sqrt{a^2-x^2}</math> {{משל}}
# <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac{1}{a^2+x^2}</math>. {{משל}}
# <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}\frac1a=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>. {{משל}}


===דוגמאות חישוב===
===דוגמאות חישוב===
{{left|1=<span><!-- ה-span הזה מונע באג שגורם לסעיף הראשון ברשימה להחשב שורה רגילה שמתחילה בתו # (במקום ב-1.)--></span>
{{left|1=<span><!-- ה-span הזה מונע באג שגורם לסעיף הראשון ברשימה להחשב שורה רגילה שמתחילה בתו # (במקום ב-1.)--></span>
# <math>\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c</math>
# <math>\int\sqrt{x}\mathrm {dx}=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c</math>
# <math>\int\frac1\sqrt{x-7}\mathrm dx=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math>
# <math>\int\frac{1}{\sqrt{x-7}}\mathrm {dx}=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math><div dir="rtl" align="right">(מהפיכת כלל השרשרת)</div>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math><div dir="rtl" align="right">(מהפיכת כלל השרשרת)</div>
# <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math>
# <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math>
# <math>\int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-\cos(x^2)}{2}+c</math><div dir="rtl" align="right">(למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)</div>
# <math>\int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-\cos(x^2)}{2}+c</math><div dir="rtl" align="right">(למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)</div>
# <math>\int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c</math>
# <math>\int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c</math>
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c</math>
# <math>\int\tan^2(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c</math>
# <math>\int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=???</math><div dir="rtl" align="right">(הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)</div>
# <math>\int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=?</math><div dir="rtl" align="right">(הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)</div>
# <span id="partial_fraction_example"><!-- אל תמחקו span זה. הוא משמש להפנייה לסעיף זה של הדוגמה --></span><math>\begin{align}\int\frac1{(x-3)(x-4)}\mathrm dx&=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{x-4}-\int\frac{\mathrm dx}{x-3}\\&=\ln|x-4|-\ln|x-3|+c\end{align}</math>
# <span id="partial_fraction_example"><!-- אל תמחקו span זה. הוא משמש להפנייה לסעיף זה של הדוגמה --></span><math>\begin{align}\int\frac1{(x-3)(x-4)}\mathrm dx&=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{x-4}-\int\frac{\mathrm dx}{x-3}\\&=\ln|x-4|-\ln|x-3|+c\end{align}</math>
}}
}}
שורה 45: שורה 46:


==אינטגרציה בחלקים==
==אינטגרציה בחלקים==
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם {{ltr|f'}} ו-{{ltr|g'}} רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:


<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
שורה 54: שורה 55:
# <math>\int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c</math>.
# <math>\int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c</math>.
# <math>\int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c</math>.
# <math>\int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c</math>.
# <math>\begin{align}\int e^x\cos(x)\mathrm dx&=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx\\&=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)+\int e^x(-\cos(x))\mathrm dx\end{align}</math> ולכן <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2\Big(\sin(x)+\cos(x)\Big)+c</math>.
# <math>\begin{align}\int e^x\cos(x)\mathrm dx&=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx\\&=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)-\int e^x\cos(x)\mathrm dx\end{align}</math> ולכן <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2\Big(\sin(x)+\cos(x)\Big)+c</math>.


==שיטת ההצבה/שינוי משתנים==
==שיטת ההצבה/שינוי משתנים==
נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>. לכן אם F קדומה ל-f אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)</math> ולפיכך <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>.  
נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>. לכן אם F קדומה ל-f אז <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)</math> ולפיכך <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>.  


דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx</math>. ע"י הגדרה <math>y=g(x)</math> נקבל <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x)</math>. נעביר אגף: <math>\mathrm dy=g'(x)\mathrm dx</math>, נחזור לאינטגרל ונקבל <math>\int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c</math>.
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx</math>. ע"י הגדרה <math>y=g(x)</math> נקבל <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x)</math>. נעביר אגף: <math>\mathrm dy=g'(x)\mathrm dx</math>, נחזור לאינטגרל ונקבל <math>\int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c</math>.
שורה 66: שורה 67:
# <math>\int x^2 e^{x^3}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^3</math> ולכן <math>\mathrm dy = 3x^2\mathrm dx</math> ולפיכך <math>I=\int \frac{e^y}3\mathrm dy=\frac{e^y}3+c=\frac{e^{x^3}}3+c</math>.
# <math>\int x^2 e^{x^3}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^3</math> ולכן <math>\mathrm dy = 3x^2\mathrm dx</math> ולפיכך <math>I=\int \frac{e^y}3\mathrm dy=\frac{e^y}3+c=\frac{e^{x^3}}3+c</math>.
# <math>\int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\ln(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx</math> ונובע ש-<math>I=\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c</math>.
# <math>\int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\ln(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx</math> ונובע ש-<math>I=\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c</math>.
# <math>\int\frac x\sqrt{x^2+1}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2+1\implies\mathrm dy=2x\mathrm dx</math> ולכן <math>I=\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}\sqrt y=\frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c</math>.
# <math>\int\frac {x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2+1\implies\mathrm dy=2x\mathrm dx</math> ולכן <math>I=\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}{\sqrt y}=\frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c</math>.
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx</math>: עבור <math>y=\cos(x)</math> נקבל <math>I=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c</math>.
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx</math>: עבור <math>y=\cos(x)</math> נקבל <math>I=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c=\ln|\sec(x)|+c</math>.
# <math>\int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c</math>.
# <math>\int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c</math>.
#<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c</math>.<br />לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: <math>\int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c</math>.
#<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c</math>.<br />לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: <math>\int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c</math>.
# <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>.
# <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>.
# <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}\sqrt{1-x^3}</math>: נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. מכאן ש-<math>I=\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}\sqrt y=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac1{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\sqrt{1-x^3}^3-\frac23\sqrt{1-x^3}+c</math>.
# <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}{\sqrt{1-x^3}}</math>: נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. מכאן ש-<math>I=\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}{\sqrt y}=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac{1}{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\sqrt{1-x^3}^3-\frac23\sqrt{1-x^3}+c</math>.
# <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math>. לבסוף, {{left|<math>\begin{align}I&=\int y\cos(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)-\int1\sin(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)+\cos(y)\\&=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c\end{align}</math>}} גרף (1) ואז <math>I=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c</math>.<br />דרך אחרת: <math>I=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math>  ושוב נקבל {{left|<math>\begin{align}I&=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx\\&=x\arcsin(x)+\int\frac{\mathrm dy}{2\sqrt y}\\&=x\arcsin(x)-\sqrt y+c\\&=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c\end{align}</math>}}
# <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math>. לבסוף, {{left|[[קובץ:חישושב קוסינוס של ארקסינוס.png|שמאל|300px|ממוזער|ממשפט פיתגורס ומהסרטוט נובע כי <math>\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}</math>]]<math>\begin{align}I&=\int y\cos(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)-\int1\sin(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)+\cos(y)+c\\&=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c\end{align}</math>}} ולכן <math>I=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c</math>.<br />דרך אחרת: <math>I=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math>  ושוב נקבל {{left|<math>\begin{align}I&=x\arcsin(x)-\int\frac{ x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\&=x\arcsin(x)+\int\frac{\mathrm dy}{2\sqrt y}\\&=x\arcsin(x)-\sqrt y+c\\&=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c\end{align}</math>}}
# <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\sqrt x\implies\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{2\sqrt x}</math> ולכן <math>I=\int 2ye^y\mathrm dy=2ye^y-\int2e^y\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c</math>.
# <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\sqrt x\implies\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{2\sqrt x}</math> ולכן <math>I=\int 2ye^y\mathrm dy=2ye^y-\int2e^y\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c</math>.
# <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>: נבחר <math>y=\sin(x)</math> כדי לקבל <math>I=\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ואז <math>I=\int-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרונה: <math>I=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>.<br />קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>\frac12\sin^2(x)-\left(-\frac12\cos^2(x)\right)=\frac12\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)=\frac12</math>.
# <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>: נבחר <math>y=\sin(x)</math> כדי לקבל <math>I=\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ואז <math>I=\int-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרונה: <math>I=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>.<br />קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>\frac12\sin^2(x)-\left(-\frac12\cos^2(x)\right)=\frac12\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)=\frac12</math>.

גרסה אחרונה מ־06:35, 16 במרץ 2016

האינטגרל הלא מסויים

הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - [math]\displaystyle{ \int f }[/math], שפתרונו פשוט [math]\displaystyle{ F(x)+c }[/math] עבור F פונקציה קדומה ל-f וקבוע c.

אינטגרלים פשוטים

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l r|l} \underline{f(x)} && \underline{\int f(x)\mathrm {dx}\ {\color{Gray}-\text{constant}}}\\ c && cx\\ x^\alpha & (\alpha\ne-1) & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\ x^{-1} && \ln|x|\\ \sin(x) && -\cos(x)\\ \cos(x) && \sin(x)\\ \sec^2(x) && \tan(x)\\ e^x && e^x\\ a^x & (1\ne a\gt 0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\ \frac1{1+x^2} && \arctan(x)\\ \frac1{a^2+x^2} && \frac1a\arctan\left(\frac {x}{a}\right)\\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && \arcsin(x)\\ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} && \arcsin\left(\frac xa\right)\\ \end{array} }[/math]

בדיקות

  1. נבדוק [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math]): לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ \ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x\gt 0\\\ln(-x)&x\lt 0\end{cases} }[/math]. לכן עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x }[/math] ועבור [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln|x|=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

  1. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac{1}{a^2+x^2} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}\frac1a=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמאות חישוב

  1. [math]\displaystyle{ \int\sqrt{x}\mathrm {dx}=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{x-7}}\mathrm {dx}=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c }[/math]
    (מהפיכת כלל השרשרת)
  4. [math]\displaystyle{ \int e^{-5x}\mathrm dx=\frac{e^{-5x}}{-5}+c }[/math]
  5. [math]\displaystyle{ \int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-\cos(x^2)}{2}+c }[/math]
    (למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
  6. [math]\displaystyle{ \int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c }[/math]
  7. [math]\displaystyle{ \int\tan^2(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c }[/math]
  8. [math]\displaystyle{ \int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=? }[/math]
    (הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
  9. [math]\displaystyle{ \begin{align}\int\frac1{(x-3)(x-4)}\mathrm dx&=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{x-4}-\int\frac{\mathrm dx}{x-3}\\&=\ln|x-4|-\ln|x-3|+c\end{align} }[/math]

כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר [math]\displaystyle{ \int(f+cg)=\int f+c\int g }[/math].

אינטגרציה בחלקים

כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) }[/math]. אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:

[math]\displaystyle{ \int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx }[/math].

דוגמאות חישוב

  1. [math]\displaystyle{ \int \underbrace{x}_{f(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{g'(x)=\cos(x)}\mathrm dx=x\sin(x)-\int1\sin(x)\mathrm dx=x\sin(x)+\cos(x)+c }[/math]. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל [math]\displaystyle{ \int \underbrace{x}_{g'(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{f(x)=\cos(x)}\mathrm dx=\cos(x)\frac{x^2}2-\int-\sin(x)\frac{x^2}2\mathrm dx }[/math], ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
  2. [math]\displaystyle{ \int x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx }[/math]. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: [math]\displaystyle{ \int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}}3-\int\frac{e^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}}3-\frac{e^{3x}}9+c }[/math] ובסה"כ [math]\displaystyle{ \int x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\frac{2xe^{3x}}9+\frac{2e^{3x}}{27}+c }[/math].
  3. [math]\displaystyle{ \int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c }[/math].
  4. [math]\displaystyle{ \int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c }[/math].
  5. [math]\displaystyle{ \begin{align}\int e^x\cos(x)\mathrm dx&=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx\\&=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)-\int e^x\cos(x)\mathrm dx\end{align} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2\Big(\sin(x)+\cos(x)\Big)+c }[/math].

שיטת ההצבה/שינוי משתנים

נתחיל עם כלל השרשרת: [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x) }[/math]. לכן אם F קדומה ל-f אז [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c }[/math].

דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx }[/math]. ע"י הגדרה [math]\displaystyle{ y=g(x) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x) }[/math]. נעביר אגף: [math]\displaystyle{ \mathrm dy=g'(x)\mathrm dx }[/math], נחזור לאינטגרל ונקבל [math]\displaystyle{ \int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c }[/math].

דוגמאות חישוב

בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-[math]\displaystyle{ I }[/math]:

  1. [math]\displaystyle{ \int x^2 e^{x^3}\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=x^3 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \mathrm dy = 3x^2\mathrm dx }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ I=\int \frac{e^y}3\mathrm dy=\frac{e^y}3+c=\frac{e^{x^3}}3+c }[/math].
  2. [math]\displaystyle{ \int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=\ln(x) }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac1x\mathrm dx }[/math] ונובע ש-[math]\displaystyle{ I=\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c }[/math].
  3. [math]\displaystyle{ \int\frac {x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=x^2+1\implies\mathrm dy=2x\mathrm dx }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ I=\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}{\sqrt y}=\frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c }[/math].
  4. [math]\displaystyle{ \int\tan(x)\mathrm dx }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ y=\cos(x) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ I=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c=\ln|\sec(x)|+c }[/math].
  5. [math]\displaystyle{ \int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c }[/math].
  6. [math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ I=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c }[/math].
    לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: [math]\displaystyle{ \int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c }[/math].
  7. [math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ I=\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c }[/math].
  8. [math]\displaystyle{ \int\frac{x^5\mathrm dx}{\sqrt{1-x^3}} }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=1-x^3 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx }[/math]. מכאן ש-[math]\displaystyle{ I=\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}{\sqrt y}=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac{1}{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\sqrt{1-x^3}^3-\frac23\sqrt{1-x^3}+c }[/math].
  9. [math]\displaystyle{ \int\arcsin(x)\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=\arcsin(x) }[/math] ומכאן ש-[math]\displaystyle{ \mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy }[/math]. לבסוף,
    ממשפט פיתגורס ומהסרטוט נובע כי [math]\displaystyle{ \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} }[/math]
    [math]\displaystyle{ \begin{align}I&=\int y\cos(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)-\int1\sin(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)+\cos(y)+c\\&=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c\end{align} }[/math]
    ולכן [math]\displaystyle{ I=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c }[/math].
    דרך אחרת: [math]\displaystyle{ I=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ y=1-x^2 }[/math] ושוב נקבל
    [math]\displaystyle{ \begin{align}I&=x\arcsin(x)-\int\frac{ x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\&=x\arcsin(x)+\int\frac{\mathrm dy}{2\sqrt y}\\&=x\arcsin(x)-\sqrt y+c\\&=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c\end{align} }[/math]
  10. [math]\displaystyle{ \int e^\sqrt x\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=\sqrt x\implies\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{2\sqrt x} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ I=\int 2ye^y\mathrm dy=2ye^y-\int2e^y\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c }[/math].
  11. [math]\displaystyle{ \int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx }[/math]: נבחר [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math] כדי לקבל [math]\displaystyle{ I=\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c }[/math].
    שיטה אחרת: [math]\displaystyle{ y=\cos(x) }[/math] ואז [math]\displaystyle{ I=\int-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c }[/math].
    שיטה אחרונה: [math]\displaystyle{ I=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c }[/math].
    קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: [math]\displaystyle{ \frac12\sin^2(x)-\left(-\frac12\cos^2(x)\right)=\frac12\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)=\frac12 }[/math].