88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 2: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־18:30, 15 באפריל 2012

שאלה 1

א

תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכח/הפרך: f אינטגרבילית בקטע.

ב

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |A|=\aleph_0 }[/math]. תהיי

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases} }[/math]

הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] או הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.

ג

תהי f פונקציה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

ד

תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

ה

תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)g(x)dx}=0 }[/math] הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

שאלה 2

א

הוכיחו כי קיים גבול לסדרה

[math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big) }[/math]

ב

חשבו את גבול הסדרה

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}} }[/math]

שאלה 3

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt }[/math] כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות.

שאלה 4

תהי f פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] עבורה מתקיים

[math]\displaystyle{ f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx }[/math]

שאלה 5

תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי

[math]\displaystyle{ \lim_{c\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(cx)dx=0 }[/math]

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 תהי <math>A\subseteq [0,1]</math> כך ש <math>|A|=\aleph_0</math>. תהיי
-::<math>f(x)=\begin{cases}0 & x\notin\mathbb{Q}\\1 & x\in\mathbb{Q}\end{cases}</math>
+::<math>f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases}</math>
 הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> '''או''' הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.
@@ שורה 15: / שורה 15: @@
 ===ד===
 תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע <math>[a,b]</math> כך ש <math>\int_a^b{f(x)dx}=0</math>. '''הוכח/הפרך''': <math>f\equiv 0</math> בקטע
+===ה===
+תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים <math>\int_a^b{f(x)g(x)dx}=0</math> '''הוכח/הפרך''': <math>f\equiv 0</math> בקטע
+==שאלה 2==
+===א===
+הוכיחו כי קיים גבול לסדרה
+::<math>a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big)</math>
+===ב===
+חשבו את גבול הסדרה
+::<math>b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}}</math>
+==שאלה 3==
+חשבו את האינטגרלים הבאים:
+===א===
+<math>\int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx</math>
+===ב===
+<math>\int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx</math>
+===ג===
+<math>\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt</math> כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות.
+==שאלה 4==
+תהי f פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע '''הפתוח''' <math>(a,b)</math> עבורה מתקיים
+::<math>f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx</math>
+==שאלה 5==
+תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי
+::<math>\lim_{c\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(cx)dx=0</math>