88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 2: הבדלים בין גרסאות בדף
(←שאלה 1) |
(←שאלה 5) |
||
| (4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 6: | שורה 6: | ||
תהי <math>A\subseteq [0,1]</math> כך ש <math>|A|=\aleph_0</math>. תהיי | תהי <math>A\subseteq [0,1]</math> כך ש <math>|A|=\aleph_0</math>. תהיי | ||
::<math>f(x)=\begin{cases}0 & x\notin | ::<math>f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases}</math> | ||
הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> '''או''' הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע. | הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> '''או''' הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע. | ||
| שורה 20: | שורה 20: | ||
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
===א=== | |||
הוכיחו כי קיים גבול לסדרה | הוכיחו כי קיים גבול לסדרה | ||
::<math>a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big)</math> | ::<math>a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big)</math> | ||
===ב=== | |||
חשבו את גבול הסדרה | |||
::<math>b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}}</math> | |||
==שאלה 3== | |||
חשבו את האינטגרלים הבאים: | |||
===א=== | |||
<math>\int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx</math> | |||
===ב=== | |||
<math>\int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx</math> | |||
===ג=== | |||
<math>\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt</math> כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות. | |||
==שאלה 4== | |||
תהי f פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע '''הפתוח''' <math>(a,b)</math> עבורה מתקיים | |||
::<math>f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx</math> | |||
==שאלה 5== | |||
תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי | |||
::<math>\lim_{c\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(cx)dx=0</math> | |||
גרסה אחרונה מ־18:30, 15 באפריל 2012
שאלה 1
א
תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכח/הפרך: f אינטגרבילית בקטע.
ב
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |A|=\aleph_0 }[/math]. תהיי
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases} }[/math]
הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] או הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.
ג
תהי f פונקציה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע
ד
תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע
ה
תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)g(x)dx}=0 }[/math] הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע
שאלה 2
א
הוכיחו כי קיים גבול לסדרה
- [math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big) }[/math]
ב
חשבו את גבול הסדרה
- [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}} }[/math]
שאלה 3
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
[math]\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx }[/math]
ב
[math]\displaystyle{ \int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx }[/math]
ג
[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt }[/math] כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות.
שאלה 4
תהי f פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] עבורה מתקיים
- [math]\displaystyle{ f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx }[/math]
שאלה 5
תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{c\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(cx)dx=0 }[/math]