88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4: הבדלים בין גרסאות בדף
(←2) |
(←ב) |
||
| (6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
===א=== | ===א=== | ||
תהי f פונקציה | תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע <math>(0,1]</math> המקיימת <math>\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=\infty</math>. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף. | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
תהי f פונקציה | תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע <math>(0,1]</math> שאינה חסומה שם. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף. | ||
==2== | ==2== | ||
חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס | |||
===א=== | |||
<math>\int_1^\infty e^{-ln^2(x)}dx</math> | |||
===ב=== | |||
<math>\int_0^\infty x^2sin(x^4)dx</math> | |||
===ג=== | |||
<math>\int_1^\infty\frac{cos(x)}{x}</math> | |||
===ד=== | |||
<math>\int_1^\infty\frac{|cos(x)|}{x}</math> | |||
===ה=== | |||
<math>\int_1^\infty\frac{cos^2(x)}{x}</math> | |||
===ו=== | |||
<math>\int_0^\infty\frac{x-arctan(x)}{x(1+x^2)arctan(x)}dx</math> | |||
==3== | |||
חשב לאילו ערכים של הפרמטרים האינטגרלים הבאים מתכנסים | חשב לאילו ערכים של הפרמטרים האינטגרלים הבאים מתכנסים | ||
| שורה 13: | שורה 35: | ||
<math>\int_0^\infty\frac{sin^2(x)}{x^\alpha}dx</math> | <math>\int_0^\infty\frac{sin^2(x)}{x^\alpha}dx</math> | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
<math>\int_0^ | <math>\int_0^1|ln(x)|^\alpha dx</math> | ||
===ג=== | ===ג=== | ||
<math>\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}tan^\alpha(x)dx</math> | <math>\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}tan^\alpha(x)dx</math> | ||
== | ==4== | ||
תהי f פונקציה יורדת כך ש <math>\int_0^\infty f(x)dx</math> מתכנס | |||
===א=== | ===א=== | ||
הוכח כי <math>\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0</math> | |||
===ב=== | |||
הוכח כי <math>\lim_{x\rightarrow\infty}xf(x)=0</math> | |||
==5== | |||
נתונה f חיובית ורציפה, ונתון כי <math>\int_0^\infty f(x)dx=\infty</math>. הוכח כי | |||
::<math>\int_1^\infty\frac{f(x)}{\int_0^x f(t)dt}dx=\infty</math> | |||
גרסה אחרונה מ־15:18, 12 ביולי 2012
1
א
תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=\infty }[/math]. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף.
ב
תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] שאינה חסומה שם. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף.
2
חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס
א
[math]\displaystyle{ \int_1^\infty e^{-ln^2(x)}dx }[/math]
ב
[math]\displaystyle{ \int_0^\infty x^2sin(x^4)dx }[/math]
ג
[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{cos(x)}{x} }[/math]
ד
[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{|cos(x)|}{x} }[/math]
ה
[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{cos^2(x)}{x} }[/math]
ו
[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{x-arctan(x)}{x(1+x^2)arctan(x)}dx }[/math]
3
חשב לאילו ערכים של הפרמטרים האינטגרלים הבאים מתכנסים
א
[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{sin^2(x)}{x^\alpha}dx }[/math]
ב
[math]\displaystyle{ \int_0^1|ln(x)|^\alpha dx }[/math]
ג
[math]\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}tan^\alpha(x)dx }[/math]
4
תהי f פונקציה יורדת כך ש [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס
א
הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 }[/math]
ב
הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}xf(x)=0 }[/math]
5
נתונה f חיובית ורציפה, ונתון כי [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)dx=\infty }[/math]. הוכח כי
- [math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{f(x)}{\int_0^x f(t)dt}dx=\infty }[/math]