הבדלים בין גרסאות בדף "התכנסות במ"ש"
מתוך Math-Wiki
(←תנאי שקול) |
(←תנאי שקול) |
||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 14: | שורה 14: | ||
ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון. | ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון. | ||
+ | |||
+ | מסמנים התכנסות במ"ש: <math>f_n(x)\rightrightarrows f(x)</math> | ||
==תנאי שקול== | ==תנאי שקול== | ||
שורה 19: | שורה 21: | ||
− | ::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)\Big]=0</math> | + | ::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\Big]=0</math> |
− | + | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
שורה 33: | שורה 34: | ||
===2.=== | ===2.=== | ||
+ | קל לוודא כי <math>x^n-x^{n+1}\rightarrow 0</math> בתחום <math>A=(0,1)</math>. האם זו התכנסות במ"ש? | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sup_{x\in A}|x^n-x^{n+1}|=\Big[\frac{n}{n+1}\Big]^n(1-\frac{n}{n+1})\rightarrow 0</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן זו התכנסות במ"ש. שימו לב שאת הסופרמום מצאנו באמצעות [[חקירת פונקציות]] |
גרסה אחרונה מ־17:58, 10 ביולי 2012
תוכן עניינים
הגדרה
עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבול. ניתן לנסח התכנסות סדרת פונקציות נקודתית בכלל הלוגי הבא:
כאשר D הוא תחום ההגדרה של פונקצית הגבול.
אנו אומרים כי סדרת הפונקציות מתכנסת במידה שווה (במ"ש) בתחום אם קיים המתאים לכל . כלומר מתקיים התנאי הלוגי הבא:
ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.
מסמנים התכנסות במ"ש:
תנאי שקול
סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש לפונקציה הגבול בתחום A אם"ם
דוגמאות
1.
ראינו כי בתחום . האם התכנסות בתחום זה במ"ש?
ולכן ההתכנסות בתחום זה אינה במ"ש
2.
קל לוודא כי בתחום . האם זו התכנסות במ"ש?
ולכן זו התכנסות במ"ש. שימו לב שאת הסופרמום מצאנו באמצעות חקירת פונקציות