הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "== מידת לבג == === מידה חיצונית === בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, <math>\{I_n\}_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קטעים פ...") |
מ (←מידה חיצונית) |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
* '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>. | * '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>. | ||
* <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math> | * <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math> | ||
− | * <math>\forall x_0\in\mathbb | + | * <math>\forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0</math> |
* '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>. | * '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>. | ||
* אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>. | * אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>. | ||
* אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>. | * אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>. | ||
* '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>. | * '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>. | ||
− | * '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb | + | * '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E)</math>. |
* לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות: | * לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות: | ||
*# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>. | *# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>. |
גרסה אחרונה מ־18:50, 5 בנובמבר 2012
מידת לבג
מידה חיצונית
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, היא סדרת קטעים פתוחים. כמו כן, בהנתן קטע
נסמן כ־
את אורכו (השווה ל־
) במקום את עוצמתו.
- מידה חיצונית: תהי
. המידה החיצונית של
היא
.
-
-
- מונוטוניות עולה חלשה:
.
- אם
קטע אזי
.
- אם
סדרת קבוצות ב־
ו־
אזי
.
- הזזה: בהנתן קבוצה
ו־
הקבוצה
היא הזזה שלה ומוגדרת כ־
.
- שמירות תחת הזזה:
.
- לא קיימת מידה
על
המקיימת את כל התכונות הבאות:
-
קיימת לכל
ומקיימת
.
- לכל קטע
,
.
-
שמורה תחת הזזה.
- אם
אזי
.
-
- קבוצה מדידה: תהי
. היא תקרא "מדידה" או "מדידה לבג" אם
.
- אם
מדידות וזרות אזי
.
-
מדידה אם״ם
מדידה.
-
מדידה אם״ם
.
- אם
אזי
מדידה.
- אם
מדידה אזי לכל
, גם
מדידה.
- כל קטע מהצורה
(
) מדיד.