88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: <math>E</math> מדידה <math>\iff</math> פוק...") |
(←שאלה 2) |
||
| (2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: | יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: | ||
<math>E</math> מדידה <math>\iff</math> | <math>E</math> מדידה <math>\iff</math> פונקציית האינדיקטור <math>I_E:X \rightarrow \mathbb{R}</math> היא מדידה. | ||
== שאלה 2 == | == שאלה 2 == | ||
| שורה 8: | שורה 8: | ||
אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה. | אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה. | ||
'''רמז''': לכל <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> יש סדרת נקודות <math>\left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty</math> ב-<math>E</math> המתכנסת אליה. | |||
== שאלה 3 == | == שאלה 3 == | ||
יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה. | יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> מדידה, ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה. | ||
('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות). | ('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות). | ||
גרסה אחרונה מ־13:40, 18 בנובמבר 2012
שאלה 1
יהי [math]\displaystyle{ (X,S) }[/math] מרחב מדיד, ותהי [math]\displaystyle{ E \subseteq X }[/math]. הוכיחו:
[math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ \iff }[/math] פונקציית האינדיקטור [math]\displaystyle{ I_E:X \rightarrow \mathbb{R} }[/math] היא מדידה.
שאלה 2
בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים [math]\displaystyle{ (i),(ii),(iii),(iv) }[/math] יתקיים לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math]. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:
אם [math]\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R} }[/math] תת קבוצה צפופה של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ \alpha \in E }[/math] אחד מהתנאים [math]\displaystyle{ (i),(ii),(iii),(iv) }[/math] מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
רמז: לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math] יש סדרת נקודות [math]\displaystyle{ \left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty }[/math] ב-[math]\displaystyle{ E }[/math] המתכנסת אליה.
שאלה 3
יהיו [math]\displaystyle{ (X,S) }[/math] מ"מ, [math]\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R} }[/math] מדידה, ו-[math]\displaystyle{ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] היא פונקציה מדידה.
(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות [math]\displaystyle{ \sin(2x),\cos(x)+1 }[/math] מהתרגול הן מדידות).
שאלה 4
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):
א. [math]\displaystyle{ A=\{ x \in \mathbb{R}:f^3(x)\lt x \} }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ B=\{x \in \mathbb{R}: f^2(x)+e^{f(x)}\lt f(x)+e^x \} }[/math]
שאלה 5
יהי [math]\displaystyle{ (X,S) }[/math] מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם [math]\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R} }[/math] מדידה ומקיימת [math]\displaystyle{ f(x) \neq 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{f} :X \rightarrow\mathbb{R} }[/math] גם היא מדידה.
בהצלחה!