הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:גרעין ותמונה עם פירוק לתתי מרחבים אינווריאנטיים"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי...") |
מ (4 גרסאות יובאו) |
||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{lem} |
יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי $T:V\rightarrow V$. אזי מתקיים: | יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי $T:V\rightarrow V$. אזי מתקיים: | ||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
\item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$ | \item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$ | ||
| − | \item $\ | + | \item $\operatorname{im} T=\operatorname{im} T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus \operatorname{im} T|_{U_k}$ |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| − | \ | + | \end{lem} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
כל $v\in V$ ניתן להצגה בצורה $v=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. לכן, $T\left (v \right )=T\left (u_1 \right )+\cdots+T\left (u_k \right )$. לכן $w=w_1+\cdots+w_k$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $w_i\in U_i$ כי $U_i$ אינווריאנטי. | כל $v\in V$ ניתן להצגה בצורה $v=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. לכן, $T\left (v \right )=T\left (u_1 \right )+\cdots+T\left (u_k \right )$. לכן $w=w_1+\cdots+w_k$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $w_i\in U_i$ כי $U_i$ אינווריאנטי. | ||
| − | + | $$u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$$ | |
| − | $u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$ | + | $$w_i\in \operatorname{im} T|_{U_i}\Leftrightarrow w\in \operatorname{im} T$$ |
| − | + | ||
| − | $w_i\in\ | + | |
שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$. | שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$. | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
\begin{lem}
יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי $T:V\rightarrow V$. אזי מתקיים:
\begin{enumerate}
\item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$
\item $\operatorname{im} T=\operatorname{im} T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus \operatorname{im} T|_{U_k}$
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
כל $v\in V$ ניתן להצגה בצורה $v=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. לכן, $T\left (v \right )=T\left (u_1 \right )+\cdots+T\left (u_k \right )$. לכן $w=w_1+\cdots+w_k$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $w_i\in U_i$ כי $U_i$ אינווריאנטי. $$u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$$ $$w_i\in \operatorname{im} T|_{U_i}\Leftrightarrow w\in \operatorname{im} T$$
שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$.
\end{proof}
