הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:דוגמאות לפולינומים מינימליים"
מ (6 גרסאות יובאו) |
|||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{example} נציג דוגאות לפולינום מינימלי. |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 9: | שורה 9: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| − | \ | + | \end{example} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 15: | שורה 17: | ||
\item קל לראות כי $x-\lambda$ הוא פולינום מאפס ל-$\lambda I_n$, והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי. | \item קל לראות כי $x-\lambda$ הוא פולינום מאפס ל-$\lambda I_n$, והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי. | ||
| − | \item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. לכן, | + | \item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. לכן, הפולינום המינימלי הוא מהצורה |
$m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$ | $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$ | ||
עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל | עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל | ||
| − | + | $$m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix} | |
| − | $m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix} | + | |
0 &1 & & 0\\ | 0 &1 & & 0\\ | ||
& 0 & \ddots & \\ | & 0 & \ddots & \\ | ||
& & \ddots &1 \\ | & & \ddots &1 \\ | ||
0 & & & 0 | 0 & & & 0 | ||
| − | \end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$ | + | \end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$$ |
| − | + | ||
על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש. | על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
\begin{example} נציג דוגאות לפולינום מינימלי.
\begin{enumerate}
\item אם $A=\lambda I_n$, אזי $m_A\left(x\right)=x-\lambda$.
\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item קל לראות כי $x-\lambda$ הוא פולינום מאפס ל-$\lambda I_n$, והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי.
\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. לכן, הפולינום המינימלי הוא מהצורה $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$ עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל $$m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 &1 & & 0\\
& 0 & \ddots & \\ & & \ddots &1 \\
0 & & & 0 \end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$$ על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש.
\end{enumerate}
\end{proof}
