הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מטריצות מייצגות של אופרטורים מיוחדים"
(יצירת דף עם התוכן "השם "אוניטרי" (ו"אורתוגונלי" מוכר לנו (גם "סימטרי") מתורת המטריצות, ולא סתם; אכן יש קשר בין ה...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 15: | שורה 15: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | בכיוון ההפוך, אם $A$ מטריצה המקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל, אזי האופרטור $T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$ המוגדר על ידי הנוסחה $L_A\left(v\right)=Av$ מקיים את התכונה המתאימה. | + | בכיוון ההפוך, אם $A$ מטריצה המקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל, אזי האופרטור הלינארי $T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$ המוגדר על ידי הנוסחה $L_A\left(v\right)=Av$ מקיים את התכונה המתאימה. |
\end{thm} | \end{thm} |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
השם "אוניטרי" (ו"אורתוגונלי" מוכר לנו (גם "סימטרי") מתורת המטריצות, ולא סתם; אכן יש קשר בין המושגים. המשפט הבא יבטא את הקשר הזה.
\begin{thm}
אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור מאחד הסוגים הנ"ל (נורמלי, אוניטרי או צמוד לעצמו), ואם $B$ בסיס אורתונורמלי של $V$, אזי המטריצה המייצגת $A=\left[T\right]_B$ מקיימת את התכונה המתאימה, ז"א:
\begin{enumerate}
\item $AA^*=A^*A$ ($A$ נקראת \textbf{נורמלית}).
\item $AA^*=I$ ($A$ נקראת \textbf{אוניטרית}).
\item $A=A^*$ ($A$ נקראת \textbf{צמודה לעצמה}).
\end{enumerate}
בכיוון ההפוך, אם $A$ מטריצה המקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל, אזי האופרטור הלינארי $T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$ המוגדר על ידי הנוסחה $L_A\left(v\right)=Av$ מקיים את התכונה המתאימה.
\end{thm}
\begin{proof}
המטריצה המייצגת של $T^*$ יחסית לבסיס אורתונורמלי $B$ היא $A^*=\overline{A}^t$, ומזה נובע הכל.
\end{proof}