הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סכום ישר של חיתוכים"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי: $\left(V_1\oplus\c...") |
מ (6 גרסאות יובאו) |
||
| (5 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{lem} |
אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי: | אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי: | ||
| − | $\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$ | + | $$\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$$ |
| − | \ | + | \end{lem} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי $V_i$ ו-$W_i$ הם חלקים של $U_i$, ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר. | הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי $V_i$ ו-$W_i$ הם חלקים של $U_i$, ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר. | ||
| שורה 11: | שורה 13: | ||
נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית. | נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית. | ||
| − | + | \begin{description} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | \item[$\boxed{\subseteq}$] | ||
| + | יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. | ||
| + | לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ ומתקיים $z=w_1+\cdots+w_k$. | ||
| + | קיבלנו שמתקיים | ||
| + | $$\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_{\in U_k}= | ||
| + | \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_{\in U_k}$$ | ||
לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, | לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, | ||
| − | $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$ | + | $$z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$$ |
| − | $\boxed{\supseteq}$ | + | \item[$\boxed{\supseteq}$] |
| − | + | יהי $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$, לכן | |
| − | יהי $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$, לכן | + | $z=u_1+\cdots+u_k$. |
| − | + | ||
| − | $z=u_1+\cdots+u_k$ | + | |
מצד אחד, $u_i\in V_i$ לכל $i$, ולכן $z\in V_1\oplus\cdots\oplus V_k$. | מצד אחד, $u_i\in V_i$ לכל $i$, ולכן $z\in V_1\oplus\cdots\oplus V_k$. | ||
מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$. | מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$. | ||
| − | בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. | + | בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. |
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{lem}
אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי:
$$\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$$
\end{lem}
\begin{proof}
הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי $V_i$ ו-$W_i$ הם חלקים של $U_i$, ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר.
נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית.
\begin{description}
\item[$\boxed{\subseteq}$] יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ ומתקיים $z=w_1+\cdots+w_k$. קיבלנו שמתקיים $$\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_{\in U_k}= \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_{\in U_k}$$ לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, $$z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$$
\item[$\boxed{\supseteq}$] יהי $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$, לכן $z=u_1+\cdots+u_k$.
מצד אחד, $u_i\in V_i$ לכל $i$, ולכן $z\in V_1\oplus\cdots\oplus V_k$. מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$.
בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$.
\end{proof}
