הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"
(←חוקי חזקות) |
|||
(15 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 12: | שורה 12: | ||
* לכל x מתקיים <math>x^{0}=1 </math> ובפרט <math>0^{0}=1 </math> | * לכל x מתקיים <math>x^{0}=1 </math> ובפרט <math>0^{0}=1 </math> | ||
* לכל x שונה מאפס מתקיים <math>0^{x}=0 </math> | * לכל x שונה מאפס מתקיים <math>0^{x}=0 </math> | ||
− | * <math>x^{ | + | * <math>x^{a}x^{b}=x^{a+b} </math> |
* <math>x^{-a}=\frac{1}{x^{a}} </math> | * <math>x^{-a}=\frac{1}{x^{a}} </math> | ||
* <math>\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} </math> | * <math>\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} </math> | ||
שורה 21: | שורה 21: | ||
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:<math>\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> | פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:<math>\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> | ||
− | ולכן נסמן <math>t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> נציב את t במשוואה ונקבל <math>2t^{2}-7t+5=0 </math> עם הפתרונות <math>t=1,\frac{1}{2} </math>, לכן עלינו לפתור שתי משוואות: | + | ולכן נסמן <math>t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math> נציב את t במשוואה ונקבל <math>2t^{2}-7t+5=0 </math> עם הפתרונות |
+ | <math>t=1,\frac{1}{2} </math>, לכן עלינו לפתור שתי משוואות: | ||
1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 </math> נסמן ב-<math>s=2^{x} </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. | 1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 </math> נסמן ב-<math>s=2^{x} </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. | ||
− | 2) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} </math> שוב נעשה מכנה משותף ונקבל <math>2s^{2}-5s+2=0 </math> לאחר שנציב <math>s=2^{x} </math>, פתרונות למשוואה הזאת הם <math> | + | 2) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} </math> שוב נעשה מכנה משותף ונקבל <math>2s^{2}-5s+2=0 </math> לאחר שנציב <math>s=2^{x} </math>, פתרונות למשוואה הזאת הם <math>s_{1}=2^{x}=2 </math> u> ו-<math>s_{2}=2^{x}=2^{-1} </math> ולכן ה-x-ים שמקיימים את המשוואה הם <math>x_{1}=1 x_{2}=-1 </math> |
===הגדרת הלוגריתם=== | ===הגדרת הלוגריתם=== | ||
שורה 32: | שורה 33: | ||
===תכונות=== | ===תכונות=== | ||
אם <math>log_{a}x=b </math> אזי: | אם <math>log_{a}x=b </math> אזי: | ||
+ | |||
1) <math>1\neq a>0 </math> | 1) <math>1\neq a>0 </math> | ||
+ | |||
2) <math>x>0 </math> | 2) <math>x>0 </math> | ||
− | 3) b מספר כלשהוא. | + | |
+ | 3) b מספר כלשהוא. | ||
+ | |||
4) <math>a^{log_{a}x}=b </math> | 4) <math>a^{log_{a}x}=b </math> | ||
+ | |||
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה <math>y=log_{a}x </math> כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא <math>x>0</math>. | הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה <math>y=log_{a}x </math> כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא <math>x>0</math>. | ||
+ | |||
+ | ===חוקי לוגריתמים=== | ||
+ | |||
+ | 1) <math>log_{a}\left(xy\right)=log_{a}x+log_{a}y </math> | ||
+ | |||
+ | 2) <math>log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{a}x-log_{a}y </math> | ||
+ | |||
+ | 3) <math>log_{a}x^{n}=nlog_{a}x </math> | ||
+ | |||
+ | 4) <math>log_{m}x=\frac{log_{a}x}{log_{a}m} </math> | ||
+ | |||
+ | 5) <math>formula</math> וגם <math>log_{a}\left(a\right)=1 </math> | ||
+ | |||
+ | הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא <math>log_{e}x=lnx </math> כאשר <math>e\approx2.51 </math> | ||
+ | |||
+ | תרגיל: פתרו את <math>e\approx2.51 </math> | ||
+ | פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים <math>ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 </math> ואז נקבל <math>ln\left(1-x^{2}\right)=0 </math> ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים <math>1-x^{2}=1 </math> u> ולכן תושבה סופית היא היא x שווה אפס. | ||
+ | |||
+ | ===ערך מוחלט ואי שוויון=== | ||
+ | |||
+ | הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה: | ||
+ | <math>\mid x\mid=\begin{cases} | ||
+ | x & x\geq0\\ | ||
+ | -x & x\leq0 | ||
+ | \end{cases} </math> | ||
+ | |||
+ | מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות <math>\mid x-y\mid </math> | ||
+ | |||
+ | ===תכונות של ערך מוחלט=== | ||
+ | |||
+ | 1) לכל x מתקיים <math>\mid x\mid\geq0 </math> | ||
+ | |||
+ | 2) <math>\mid x\mid=0 </math> אם ורק אם <math>x=0 </math> | ||
+ | |||
+ | 3) <math>\mid xy\mid=\mid x\mid y\mid </math> | ||
+ | |||
+ | 4) <math>\left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2} </math> | ||
+ | |||
+ | 5) <math>x\leq\mid x\mid </math> | ||
+ | |||
+ | 6) אי שוויון המשולש: <math>\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid </math> | ||
+ | |||
+ | 7) נניח ש-L מספר אי שלילי אזי <math>\mid x\mid\leq L\Leftrightarrow-L\leq x\leq L </math> | ||
+ | |||
+ | ===תכונות של אי שוויונים=== | ||
+ | |||
+ | * <math>x\leq y\Leftrightarrow-x\geq-y </math> | ||
+ | |||
+ | * נניח ש-x,y אי שליליים אזי <math>x\leq y\Leftrightarrow x^{2}\leq y^{2} </math> | ||
+ | |||
+ | * נניח ש-x,y אי שליליים אזי <math>x\leq y\Leftrightarrow\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y} </math> | ||
+ | |||
+ | תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא: <math>\mid2x-1\mid>\mid x-1\mid </math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: מקרה ראשון: <math>2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} </math> וגם <math>x-1\geq0\Rightarrow x\geq1 </math> | ||
+ | |||
+ | במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל <math>2x-1>x-1\Rightarrow x>0 </math>, חיתוך בין שלושת התחומים הוא <math>x\geq1 </math> וזה פתרון במקרה 1. | ||
+ | |||
+ | מקרה 2: <math>2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} </math> וגם <math>x-1<0\Rightarrow x<1 </math> ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני <math>x-1</math> ונקבל <math>2x-1>-(x-1)\Rightarrow x>\frac{2}{3} </math> ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא <math>\frac{2}{3}<x<1 </math> | ||
+ | |||
+ | מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם <math>x-1<0\Rightarrow x<1</math> ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל: <math>-(2x-1)>-(x-1)\Rightarrow x<0 </math> | ||
+ | |||
+ | ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: <math>x\geq1 </math> או <math>\frac{2}{3}<x<1 </math> או <math>x<0</math> | ||
+ | |||
+ | ===אי שוויונים מעריכיים=== | ||
+ | |||
+ | בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים: | ||
+ | |||
+ | 1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים. | ||
+ | |||
+ | 2) * אם <math>a>1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>a^{x_{1}}<a^{x_{2}} </math> ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים. | ||
+ | |||
+ | * אם <math>0<a<1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>a^{x_{2}}<a^{x_{1}} </math> ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים. | ||
+ | |||
+ | תרגיל: פתור את אי השוויון: <math>\left(x-3\right)^{5x}<\left(x-3\right)^{x^{2}} </math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים: | ||
+ | |||
+ | מקרה 1: <math>x-3\geq1 </math> ולכן <math>x\geq4 </math> במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: <math>5x<x^{2}\Rightarrow x^{2}-5x>0\Rightarrow x\left(x-5\right)>0 </math> פתרון ואי שוויון זה הוא <math>x>5 </math> או <math>x<0 </math> ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא <math>x>5 </math> | ||
+ | |||
+ | מקרה 2: <math>0<x-3<1\Rightarrow3<x<4 </math> ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים <math>5x>x^{2} </math> ותרון לאי שוויון זה הוא <math>0<x<5 </math> והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא <math>3<x<4</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: <math>x>5 </math> או <math>3<x<4</math> | ||
+ | |||
+ | ===אי שוויונים לוגריתמיים=== | ||
+ | |||
+ | בפתרון של אי שוויונים לוגריתמיים יש לשים לב לכללים הבאים: | ||
+ | |||
+ | 1) כל הביטויים שבתוך הלוגריתמים חייבים להיות חיוביים. | ||
+ | |||
+ | 2) * אם <math>a>1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אזי <math>log_{a}x_{1}<log_{a}x_{2} </math> ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הוא באותו כיוון של אי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים. | ||
+ | |||
+ | * אם <math>0<a<1 </math> אז אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>log_{a}x_{2}<log_{a}x_{1} </math> ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים. | ||
+ | |||
+ | * אם x מופיע גם בבסיס הלוגריתם צריך לזכור שהבסיס הוא חיובי ושונה מ-1. | ||
+ | |||
+ | תרגיל: פתור את אי שוויון <math>log_{x}\left(x+1\right)<2 </math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: קודם כל נסדר את הביטוי: <math>log_{x}\left(x+1\right)<2\cdot1=2log_{x}x=log_{x}x^{2} </math> | ||
+ | http://math-wiki.com/extensions/Math/images/button_math.png | ||
+ | קודם כל נדאג שביטויים בתוך הלוגריתם יהיו חיוביים <math>x+1>0\Rightarrow x>-1 </math> וגם <math>x^{2}\neq0\Rightarrow x>0\vee x<0</math> אבל יש לנו x בבסיס ואנחנו דורשים שהוא יהיה חיובי ולכן חיתוך בין שלושת התחומים נותן <math>x>0</math>. | ||
+ | |||
+ | נחלק למקרים, מקרה 1: <math>x>1 </math> אזי <math>x+2<x^{2} </math> פתרון לאי שוויון ריבועי זה הוא <math>x>2 </math> או <math>x<-1 </math> אבל ראינו ש-<math>x>0 </math> ולכן החיתוך בין התחומים כאן הוא <math>x>2 </math>. | ||
+ | |||
+ | מקרה 2: אם <math>0<x<1 </math> נקבל <math>x+2>x^{2} </math> פתרון של אי שוויון ריבועי זה הוא <math>-1<x<2 </math>, סה"כ פתרון נוא חיתוך של התחומים והוא שווה <math>0<x<1 </math>. | ||
+ | |||
+ | פתרון של אי שוויון הוא איחוד של שני המקרים והוא שווה ל-<math>0<x<1 </math> או <math>x>2 </math> |
גרסה אחרונה מ־19:42, 20 באוקטובר 2015
תוכן עניינים
חזקות ושורשים
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת להיות השורש ה-n-י של x:
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:
חוקי חזקות
- לכל x מתקיים
- לכל x מתקיים ובפרט
- לכל x שונה מאפס מתקיים
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש: ולכן נסמן נציב את t במשוואה ונקבל עם הפתרונות , לכן עלינו לפתור שתי משוואות:
1) נעשה מכנה משותף ונקבל נסמן ב- ונקבל משוואה קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
2) שוב נעשה מכנה משותף ונקבל לאחר שנציב , פתרונות למשוואה הזאת הם u> ו- ולכן ה-x-ים שמקיימים את המשוואה הם
הגדרת הלוגריתם
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר .
תכונות
אם אזי:
1)
2)
3) b מספר כלשהוא.
4)
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא .
חוקי לוגריתמים
1)
2)
3)
4)
5) וגם
הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא כאשר
תרגיל: פתרו את פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים ואז נקבל ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים u> ולכן תושבה סופית היא היא x שווה אפס.
ערך מוחלט ואי שוויון
הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה:
מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות
תכונות של ערך מוחלט
1) לכל x מתקיים
2) אם ורק אם
3)
4)
5)
6) אי שוויון המשולש:
7) נניח ש-L מספר אי שלילי אזי
תכונות של אי שוויונים
- נניח ש-x,y אי שליליים אזי
- נניח ש-x,y אי שליליים אזי
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא:
פתרון: מקרה ראשון: וגם
במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל , חיתוך בין שלושת התחומים הוא וזה פתרון במקרה 1.
מקרה 2: וגם ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני ונקבל ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא
מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל:
ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: או או
אי שוויונים מעריכיים
בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים:
1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים.
2) * אם אזי אם אז ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים.
- אם אזי אם אז ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים.
תרגיל: פתור את אי השוויון:
פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים:
מקרה 1: ולכן במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: פתרון ואי שוויון זה הוא או ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא
מקרה 2: ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים ותרון לאי שוויון זה הוא והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא
פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: או
אי שוויונים לוגריתמיים
בפתרון של אי שוויונים לוגריתמיים יש לשים לב לכללים הבאים:
1) כל הביטויים שבתוך הלוגריתמים חייבים להיות חיוביים.
2) * אם אזי אם אזי ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הוא באותו כיוון של אי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.
- אם אז אם אז ואז אי שוויון שבין הלוגריתמים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין הביטויים שבתוך הלוגריתמים.
- אם x מופיע גם בבסיס הלוגריתם צריך לזכור שהבסיס הוא חיובי ושונה מ-1.
תרגיל: פתור את אי שוויון
פתרון: קודם כל נסדר את הביטוי: http://math-wiki.com/extensions/Math/images/button_math.png קודם כל נדאג שביטויים בתוך הלוגריתם יהיו חיוביים וגם אבל יש לנו x בבסיס ואנחנו דורשים שהוא יהיה חיובי ולכן חיתוך בין שלושת התחומים נותן .
נחלק למקרים, מקרה 1: אזי פתרון לאי שוויון ריבועי זה הוא או אבל ראינו ש- ולכן החיתוך בין התחומים כאן הוא .
מקרה 2: אם נקבל פתרון של אי שוויון ריבועי זה הוא , סה"כ פתרון נוא חיתוך של התחומים והוא שווה .
פתרון של אי שוויון הוא איחוד של שני המקרים והוא שווה ל- או