הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←פונקציה מצומצמת) |
(←תרגיל) |
||
(10 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 24: | שורה 24: | ||
==== תרגיל ==== | ==== תרגיל ==== | ||
− | הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>A,B \subseteq Y</math>. אזי | + | הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y</math>. אזי |
− | # <math>f^{-1} | + | # <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math> |
− | # <math>f^{-1} | + | # <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math> |
+ | # <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math> | ||
+ | # <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math> | ||
+ | # <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math> | ||
− | פתרון: תחשבו | + | פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה. |
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
שורה 43: | שורה 46: | ||
'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! | '''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! | ||
− | ===תרגיל=== | + | ===תרגיל (בהרצאה בד"כ)=== |
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | ||
שורה 56: | שורה 59: | ||
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> | דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> | ||
− | + | ===תרגיל (בXI)=== | |
− | ===תרגיל=== | + | |
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על | ||
שורה 69: | שורה 71: | ||
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>. | דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>. | ||
− | |||
− | |||
===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)=== | ===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)=== | ||
שורה 79: | שורה 79: | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | 1. ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' | + | 1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' |
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> | בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> | ||
שורה 113: | שורה 113: | ||
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. | יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. | ||
− | ==== תרגיל ==== | + | ==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ==== |
− | + | תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי: | |
− | + | # אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על. | |
− | # | + | # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>|A|\leq |B|</math> |
− | # | + | # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> על אמ"מ <math>|B|\leq |A|</math> |
=== פונקציות המכבדות יחס שקילות === | === פונקציות המכבדות יחס שקילות === | ||
שורה 144: | שורה 144: | ||
# <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math> | # <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math> | ||
− | + | ====דוגמא ==== | |
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב? | האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב? | ||
שורה 172: | שורה 172: | ||
'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך) | '''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך) | ||
+ | ==== תרגיל ==== | ||
+ | תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g|_{Im(f)}</math> חח"ע. | ||
+ | |||
+ | הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע. |
גרסה אחרונה מ־14:49, 27 ביולי 2021
תוכן עניינים
המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות
תמונות חלקיות
הגדרה. תהי פונקציה, ויהיו תת קבוצות
. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה
, והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה
.
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה לבין הפונקציה ההופכית
. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו
) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו
).
דוגמאות
תהא פונקצית דריכלה. אזי
תהא פונקצית . אזי
תהא פונקצית הערך השלם התחתון. אזי
תכונות
- אם
אזי
- אם
אזי
- הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות.
תרגיל
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה ותהיינה
. אזי
פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה.
תרגיל
הוכח/הפרך: תהיינה ותהי f פונקציה
. אזי
פתרון.
נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים כך ש
. ניקח
אזי:
הערה תמיד מתקיים
הערה הטענה נכונה אם חח"ע. הוכיחו!
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהי ותהי
. הוכח
. וקיים שיוויון אם
חח"ע
פתרון.
יהא אזי
ולכן
.
נראה את ההכלה בכיוון השני אם חח"ע:
יהא לכן
לכן
. כיוון ש
חח"ע נובע כי
דוגמא שלא מתקיים שיוויון (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר
ומתקיים
תרגיל (בXI)
תהי ותהי
. הוכח
. וקיים שיוויון אם
על
פתרון.
יהא כאשר
ולכן
.
נראה את ההכלה בכיוון השני אם על:
יהא כיוון ש f על
לכן
. ואז
דוגמא שלא מתקיים שיוויון המוגדרת
. אזי נגדיר
ומתקיים
.
תרגיל ממבחן (קצת משודרג)
יהיו שתי קבוצות, ותהי
פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה
על ידי
.
בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
פתרון.
1. נמצא ב XI הטענה f על אמ"מ g חח"ע
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על)
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי לכן
בסתירה לחח"ע של g.
2. f חח"ע אמ"מ g על
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה
)
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים שונים כך ש
. נביט בנקודון
כיוון ש g על קיימת כך ש
לכן
ולכן
לכן כלומר
. סתירה.
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:
- ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
- יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
- ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
- ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)
אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל
למשל:
יהיו . אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן
ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:
- אם קיימת
חח"ע אזי קיימת
על.
- אם A,B סופיות: קיימת
חח"ע אמ"מ
- אם A,B סופיות: קיימת
על אמ"מ
פונקציות המכבדות יחס שקילות
הגדרה. תהי , ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על
אם
כלומר אם a שקול ל b אזי .
למה זה טוב?
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה ע"י
באופן מפורש .
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח , צ"ל
. מהנתון ש
נובע ש
, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים
, ולפי הגדרת g מתקיים
.
דוגמא
נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x.
בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:
דוגמא
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי מוגדרת היטב?
פתרון
לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של . לפי היחס שהגדרנו מתקיים
אבל לא מתקיים
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
פונקציה מצומצמת
הגדרה.
תהי ותהי
. הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי:
כך ש-
.
דוגמא.
נביט ב- המוגדרת על ידי
ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת
כן חח"ע.
תרגיל.
תהי פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-
חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר
).
פתרון.
נגדיר לכל את הקבוצה של המקורות שלו
כעת נבחר מכל
איבר יחיד
. נגדיר
. כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי
חח"ע עם אותו טווח של
.
אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
תרגיל
תהיינה פונקציות כך ש
חח"ע. הוכיחו כי
חח"ע.
הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, , נקבל כי
חח"ע ובנוסף
חח"ע ועל. מכאן ש
חח"ע כהרכבה של חח"ע.