שיחה:89-214 סמסטר א' תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 20: | שורה 20: | ||
: הפתרון הוא לעשות רק מה שמוכרחים. בסעיף הראשון רוצים להגדיר העתקה מ-<math>\ (H\cap C)/(B\cap C)</math> אל <math>\ H/B</math>. כל איבר במקור הוא קוסט <math>\ x(B\cap C)</math>, כאשר <math>\ x\in H \cap C</math>. יש לשלוח את הקוסט הזה אל קוסט של B, עם נציג מ-H. אבל רגע, <math>\ x\in H</math> לפי ההנחה, אז למה שלא נשלח <math>\ x(B \cap C) \mapsto xB</math>? זה מוגדר היטב כי הנציג שייך למקום הנכון, והגרעין של הקוסטים במקור (<math>\ B\cap C</math>) מוכל בגרעין של הקוסטים בתמונה (<math>\ B</math>); כלומר, החלפת הנציג לא תשנה את התוצאה. יותר מזה, הפונקציה היא חד-חד-ערכית כי אם <math>\ xB=B</math> אז <math>\ x\in H\cap B</math> ולכן הקוסט המקורי טריוויאלי. | : הפתרון הוא לעשות רק מה שמוכרחים. בסעיף הראשון רוצים להגדיר העתקה מ-<math>\ (H\cap C)/(B\cap C)</math> אל <math>\ H/B</math>. כל איבר במקור הוא קוסט <math>\ x(B\cap C)</math>, כאשר <math>\ x\in H \cap C</math>. יש לשלוח את הקוסט הזה אל קוסט של B, עם נציג מ-H. אבל רגע, <math>\ x\in H</math> לפי ההנחה, אז למה שלא נשלח <math>\ x(B \cap C) \mapsto xB</math>? זה מוגדר היטב כי הנציג שייך למקום הנכון, והגרעין של הקוסטים במקור (<math>\ B\cap C</math>) מוכל בגרעין של הקוסטים בתמונה (<math>\ B</math>); כלומר, החלפת הנציג לא תשנה את התוצאה. יותר מזה, הפונקציה היא חד-חד-ערכית כי אם <math>\ xB=B</math> אז <math>\ x\in H\cap B</math> ולכן הקוסט המקורי טריוויאלי. | ||
: הסעיף השני דומה. צריך להגדיר העתקה <math>\ H/B\rightarrow HC/BC</math>. שוב, נשלח <math>\ xB \mapsto xBC</math>. זה מוגדר היטב מאותן סיבות, ועל כי אפשר לכסות כל קוסט <math>\ hcBC=hBC</math> על-ידי <math>\ hB</math>. | : הסעיף השני דומה. צריך להגדיר העתקה <math>\ H/B\rightarrow HC/BC</math>. שוב, נשלח <math>\ xB \mapsto xBC</math>. זה מוגדר היטב מאותן סיבות, ועל כי אפשר לכסות כל קוסט <math>\ hcBC=hBC</math> על-ידי <math>\ hB</math>. | ||
: התמונה של ההעתקה הראשונה היא <math>\ \{xB : x\in H\cap C\} = ((H \cap C) B)/B</math>, והגרעין של השניה הוא <math>\ \ | : התמונה של ההעתקה הראשונה היא <math>\ \{xB : x\in H\cap C\} = ((H \cap C) B)/B</math>, והגרעין של השניה הוא <math>\ \{xB : x\in H, xBC=BC\} = (H \cap CB)/B</math>. השניים שווים כי <math>\ H \cap B\cdot C = (H \cap B) \cdot C</math>; זו המודולריות של סריג תת-החבורות. | ||
: אפשר לראות את כל זה די בקלות אם מציירים את הסריג, ומפעילים את משפט האיזומורפיזם השני כדי להגיד ש-<math>\ (H\cap C)/(B\cap C) \cong (H\cap C)B /B \leq H/B</math> ו- <math>\ HC/BC \cong H/(H\cap CB) \twoheadleftarrow H/B</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 00:05, 24 בפברואר 2011 (IST) | : אפשר לראות את כל זה די בקלות אם מציירים את הסריג, ומפעילים את משפט האיזומורפיזם השני כדי להגיד ש-<math>\ (H\cap C)/(B\cap C) \cong (H\cap C)B /B \leq H/B</math> ו- <math>\ HC/BC \cong H/(H\cap CB) \twoheadleftarrow H/B</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 00:05, 24 בפברואר 2011 (IST) | ||
תודה רבה ! | |||
גרסה אחרונה מ־22:27, 23 בפברואר 2011
יש אפשרות לפרסם את דף השאלות שחולק בהתאמה לדף הפתרונות שפורסם?
שאלה 4 במבחן לדוגמא .
אנחנו כמה אנשים שלא הצלחנו לפתור את השאלה . נשמח לקבל עזרה!
- ומה השאלה? עוזי ו. 21:11, 23 בפברואר 2011 (IST)
H,C,B ת"ח של חבורה G חבורות B,C נורמליות ב G , B מוכלת ב H
1. מצא העתקה חח"ע מ (H חיתוך C) מעל (B חיתוך C ) אל H מעל B
2. מצא העתקה על מ H/B אל HC/BC
3. האם התמונה של א זהה לגרעין של ב .
ממש תודה
- הפתרון הוא לעשות רק מה שמוכרחים. בסעיף הראשון רוצים להגדיר העתקה מ-[math]\displaystyle{ \ (H\cap C)/(B\cap C) }[/math] אל [math]\displaystyle{ \ H/B }[/math]. כל איבר במקור הוא קוסט [math]\displaystyle{ \ x(B\cap C) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ x\in H \cap C }[/math]. יש לשלוח את הקוסט הזה אל קוסט של B, עם נציג מ-H. אבל רגע, [math]\displaystyle{ \ x\in H }[/math] לפי ההנחה, אז למה שלא נשלח [math]\displaystyle{ \ x(B \cap C) \mapsto xB }[/math]? זה מוגדר היטב כי הנציג שייך למקום הנכון, והגרעין של הקוסטים במקור ([math]\displaystyle{ \ B\cap C }[/math]) מוכל בגרעין של הקוסטים בתמונה ([math]\displaystyle{ \ B }[/math]); כלומר, החלפת הנציג לא תשנה את התוצאה. יותר מזה, הפונקציה היא חד-חד-ערכית כי אם [math]\displaystyle{ \ xB=B }[/math] אז [math]\displaystyle{ \ x\in H\cap B }[/math] ולכן הקוסט המקורי טריוויאלי.
- הסעיף השני דומה. צריך להגדיר העתקה [math]\displaystyle{ \ H/B\rightarrow HC/BC }[/math]. שוב, נשלח [math]\displaystyle{ \ xB \mapsto xBC }[/math]. זה מוגדר היטב מאותן סיבות, ועל כי אפשר לכסות כל קוסט [math]\displaystyle{ \ hcBC=hBC }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \ hB }[/math].
- התמונה של ההעתקה הראשונה היא [math]\displaystyle{ \ \{xB : x\in H\cap C\} = ((H \cap C) B)/B }[/math], והגרעין של השניה הוא [math]\displaystyle{ \ \{xB : x\in H, xBC=BC\} = (H \cap CB)/B }[/math]. השניים שווים כי [math]\displaystyle{ \ H \cap B\cdot C = (H \cap B) \cdot C }[/math]; זו המודולריות של סריג תת-החבורות.
- אפשר לראות את כל זה די בקלות אם מציירים את הסריג, ומפעילים את משפט האיזומורפיזם השני כדי להגיד ש-[math]\displaystyle{ \ (H\cap C)/(B\cap C) \cong (H\cap C)B /B \leq H/B }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ HC/BC \cong H/(H\cap CB) \twoheadleftarrow H/B }[/math]. עוזי ו. 00:05, 24 בפברואר 2011 (IST)
תודה רבה !