הבדלים בין גרסאות בדף "88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב"
מתוך Math-Wiki
(←הודעות) |
(←הודעות) |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. | שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. | ||
--[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST) | --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | לגבי התרגול היום (6.12.2011): | ||
+ | הגענו לפתרון <math>y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את <math>c_1</math> כדי שהגבול יתכנס. | ||
+ | הדרך המלאה היא כך: | ||
+ | |||
+ | <math>y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>y'(0)=\omega_0 c_2</math> | ||
+ | |||
+ | (לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים: | ||
+ | |||
+ | <math>c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן הפתרון הוא: | ||
+ | |||
+ | <math>y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math> | ||
+ | |||
+ | עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t\sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}</math> | ||
+ | |||
+ | כאשר: | ||
+ | |||
+ | <math>A_1=y(0)</math> ו- <math>A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}</math> הם קבועים חופשיים. | ||
+ | |||
+ | רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. | ||
+ | --[[משתמש:Michael|Michael]] 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST) |
גרסה מ־20:53, 6 בדצמבר 2011
88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות
קישורים
הודעות
העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)
לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון
ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:
(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:
ולכן הפתרון הוא:
עכשיו נוכל להשאיף ולקבל:
כאשר:
ו- הם קבועים חופשיים.
רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)