הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5"
שורה 31: | שורה 31: | ||
2) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{3}(x-1)^{2}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | 2) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{3}(x-1)^{2}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
− | צורת ז'ורדן היא \begin{pmatrix} | + | צורת ז'ורדן היא <math>\begin{pmatrix} |
J_1(2) & & & \\ | J_1(2) & & & \\ | ||
− | & J_3( | + | & J_3(0) & & \\ |
& & J_2(1) & \\ | & & J_2(1) & \\ | ||
& & & J_1(1) | & & & J_1(1) | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix} |
− | + | </math> | |
3) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | 3) עבור פ"מ <math>M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2)</math>, צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד. | ||
− | צורת ז'ורדן היא | + | צורת ז'ורדן היא <math>\begin{pmatrix} |
+ | J_1(2) & & & \\ | ||
+ | & J_3(1) & & \\ | ||
+ | & & J_2(0) & \\ | ||
+ | & & & J_1(0) | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
גרסה מ־19:29, 26 בדצמבר 2011
סימון - בלוק ז'ורדן המתאים לע"ע מסדר
הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים בהינתן פ"א הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה).
מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.
נזכור ראשית שהחזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1.
אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.
באופן דומה הריבוי האלגברי של הע"ע 1 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 1 בצורת ז'ורדן=3, ו-
הריבוי האלגברי של הע"ע 0 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 0 בצורת ז'ורדן=3.
כעת, עבור כל פ"מ, נמקם ראשית את בצורת הז'ורדן, ואז נוכל להתעלם מהע"ע 2, שכן חייב להיות המופע היחיד של הע"ע 2 בצורת ז'ורדן (כי סכום גדלי הבלוקים המתאימים לע"ע 2 צריך להיות 1=המעריך המתאים בפ"א, כפי שכבר פירטתי), ונשים בכל פעם את הבלוקים שחייבים להופיע לפי החזקה המתאימה בפ"מ, ונראה כמה חופש בחירה נותר לנו.
1) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
הרי אנו יודעים שבצורת ז'ורדן חייב להופיע בלוק המתאים לע"ע i, מסדר השווה לחזקה שלו בפ"מ - ונקבל שהמטר' שקיבלנו ע"י הכנסת הבלוקים שחייבים להופיע היא כבר מסדר , ולכן היא צורת ז'ורדן. צורת ז'ורדן היא .
2) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
3) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
4) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
5) עבור פ"מ , ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 1.
6) עבור פ"מ , ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 0.
בכך ענינו על סעיף ב'.
7) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
8) עבור פ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
צורת ז'ורדן היא
9) לבסוף, עבור הפ"מ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א.
צורת ז'ורדן היא
נותר רק לסכם את המספרים שקיבלנו (ולהוסיף פירוט אם המרצים יבקשו, אבל זה באמת תהליך רפטטיבי), ולקבל
צורות ז'ורדן אפשריות!
למרצים: השאלה במבחן הדוגמא המתאים לאותה השנה זהה לחלוטין עד כדי מספרים שונים. האם צריך לפתור גם אותה?
הערות: 1) בפתרון הנחתי שצורת ז'ורדן שמתקבלת מסדר שונה של הבלוקים באלכסון היא זהה. (זה בסדר כי הן דומות; אם רוצים דווקא להחשיב אותן בנפרד, צריך להכפיל את האפשרויות שבכל מקרה ב(עצרת של (מס' הבלוקים שבצורת ז'ורדן))) לכן בכל מקום שבו כתוב 'יחיד/ה' על צורת ז'ורדן, הכוונה היא עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
2)כאשר במטריצה לא מופיעים במפורש איברים - המקומות החסרים הם אפסים.