הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4"
מתוך Math-Wiki
מ |
|||
שורה 17: | שורה 17: | ||
הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>. | הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>. | ||
− | |||
+ | נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 | ||
+ | \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0& 0 &1 \\ | ||
+ | 0 & 0 &0 \\ | ||
+ | 0 &0 &0 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
− | קיבלנו שהמטריצה <math>A-I</math> נילפ' מאינדקס 3, | + | אבל (A-I)^3=(A-I)^2)(A-I)=\begin{pmatrix} |
+ | 0 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 | ||
+ | \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0& 0 &0 \\ | ||
+ | 0 & 0 &0 \\ | ||
+ | 0 &0 &0 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | קיבלנו שהמטריצה <math>A-I</math> נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. | ||
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש<math>A-I</math> דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3. | אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש<math>A-I</math> דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3. | ||
גרסה מ־20:06, 26 בדצמבר 2011
נמצא פ"א: כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.
זהו גם הפ"מ של A:
הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה , כאשר .
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים:
אבל (A-I)^3=(A-I)^2)(A-I)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
0& 0 &0 \\
0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}
קיבלנו שהמטריצה נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה כך ש:
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא
כנדרש! :)