הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4"
מ |
מ |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | נסמן את סדר המטריצה <math>A</math> ב- <math>n</math>. | ||
נמצא פ"א: <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} | נמצא פ"א: <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} | ||
שורה 18: | שורה 20: | ||
נראה שזהו גם הפ"מ של A: | נראה שזהו גם הפ"מ של A: | ||
− | הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) | + | הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א. לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>. |
גרסה מ־16:50, 27 בדצמבר 2011
נסמן את סדר המטריצה ב- .
נמצא פ"א: כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.
נראה שזהו גם הפ"מ של A:
הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א. לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה , כאשר .
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים:
אבל
ידוע שהפ״מ מאפס את A, ולכן נסיק שהפ״מ זהה לפ״א. מכאן אפשר לומר שגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע״ע 1 הוא 3. אבל A היא כבר מסדר 3x3 ולכן זהו הבלוק היחיד בצורת ז׳ורדן שלה. לכן צורת ז׳ורדן היא . סיימנו את התרגיל.
מכיוון שכבר כתבתי וחבל לי למחוק, נראה כעת נימוק יותר אלמנטרי:
קיבלנו שהמטריצה נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה כך ש:
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא
כפי שקיבלנו קודם.
כנדרש! :)