הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9"
מ |
מ |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
הוכחה- בשלילה, נניח של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי. | הוכחה- בשלילה, נניח של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי. | ||
− | יהי <math>B={v_1,...,v_n}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. | + | כעת, תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית <math>F</math>. יהי <math>B={v_1,...,v_n}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. |
יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום. | יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום. |
גרסה מ־11:32, 30 בדצמבר 2011
למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד: ניסוח- יהי אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של , אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים. הוכחה- בשלילה, נניח של- יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור , שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.
כעת, תהי מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית . יהי בסיס של , המז'רדן את הט"ל המוגדרת ע"י .
יהי ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- , כלומר מהצורה , יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל- יהיו הראשונים בסכום. אזי , כאשר היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה , ואילו היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה .
יהי k הר"א של , אזי היא מסדר , ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)
ידוע שמתקיים , כאשר אינווריאנטי תחת .
לכן, היא צורת ז'ורדן של האופרטור , והפ"א שלו הוא חזקה של . לפי הלמה, מספר הבלוקים מכל גודל נקבע באופן יחיד ע"י .