הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9"
מ |
מ |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
הוכחה- בשלילה, נניח של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי. | הוכחה- בשלילה, נניח של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי. | ||
− | יהי <math>B={v_1,...,v_n}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. | + | כעת, תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית <math>F</math>. יהי <math>B={v_1,...,v_n}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. |
יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום. | יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום. |
גרסה מ־11:32, 30 בדצמבר 2011
למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:
ניסוח- יהי אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של
, אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
הוכחה- בשלילה, נניח של-
יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור
, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.
כעת, תהי מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית
. יהי
בסיס של
, המז'רדן את הט"ל
המוגדרת ע"י
.
יהי ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל-
, כלומר מהצורה
, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-
יהיו הראשונים בסכום.
אזי
, כאשר
היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה
, ואילו
היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה
.
יהי k הר"א של , אזי
היא מסדר
, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)
ידוע שמתקיים , כאשר
אינווריאנטי תחת
.
לכן, היא צורת ז'ורדן של האופרטור
, והפ"א שלו הוא חזקה של
. לפי הלמה, מספר הבלוקים
מכל גודל
נקבע באופן יחיד ע"י
.