הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math> | + | א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} |
+ | x-1 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & x-1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & x-2 | ||
+ | \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math> | ||
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | ||
שורה 24: | שורה 28: | ||
בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. | בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. | ||
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | ||
+ | J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 &1 &0 \\ | ||
+ | 0 &1 &0 \\ | ||
+ | 0 &0 &2 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == דרך כמו שרשום בחוברת == | ||
+ | |||
+ | (בלי לחשב את הריבוי הגאומטרי) | ||
+ | |||
+ | הבלוק הכי גדול הוא בסדר <math>\max\left\{ k|\left(x-t\right)^{k}/m_{A}\left(x\right)\right\} </math> | ||
+ | |||
+ | שפה זה 2 ולכן יש בלוק <math>J_{2}(1)</math> ובלוק <math>J_{1}(2)</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן צורת הז'ורדן של A היא <math> | ||
J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | ||
1 &1 &0 \\ | 1 &1 &0 \\ |
גרסה מ־09:53, 5 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
(בלי לחשב את הריבוי הגאומטרי)
הבלוק הכי גדול הוא בסדר
שפה זה 2 ולכן יש בלוק ובלוק
ולכן צורת הז'ורדן של A היא