הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=המבחן של פרופ' זלצמן= | =המבחן של פרופ' זלצמן= | ||
==שאלה 1== | ==שאלה 1== | ||
− | תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה | + | תהי סדרה <math>a_n</math>, ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | על מנת להוכיח | + | על-מנת להוכיח ש- <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> . |
− | נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל | + | נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\epsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל- <math>r</math> עד כדי <math>\epsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו. |
− | לכן, עבור <math>\ | + | לכן, עבור <math>\frac1{n}</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל- <math>r</math> עד כדי <math>\frac1{n}</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל <math>r</math> עד כדי <math>\frac2{n}</math> (המרחק בין גבול תת-הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת-הסדרה לגבול תת-הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי-הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2{n}</math> מ- <math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל- <math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> |
− | נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math> | + | |
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
שורה 16: | שורה 15: | ||
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>\sum (-1)^n\tan | + | <math>\sum (-1)^n\tan\left(\frac1{n}\right)</math> |
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: | נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: | ||
− | <math>\lim\frac{\tan\ | + | <math>\lim\frac{\tan\left(\frac1{n}\right)}{\frac1{n}}=\lim\frac{\sin\left(\frac1{n}\right)}{\frac1{n}\cdot\cos\left(\frac1{n}\right)}=1</math> |
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. | ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. | ||
− | קל לראות | + | קל לראות ש- <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל- <math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>\sum (-1)^ | + | <math>\sum (-1)^n\cdot e^\frac1{\log(n)}</math> |
− | קל לראות ש <math>e^{\ | + | קל לראות ש- <math>e^\frac1{\log(n)}\to 1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>\sum (-1)^n{\frac{cos( | + | <math>\sum (-1)^n{\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\cdot \log^3(n)}}</math> |
− | בערך מוחלט זה קטן מ<math>\sum\ | + | בערך מוחלט זה קטן מ- <math>\sum\frac1{n\cdot log^3(n)}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור <math>\sum\frac{2^n}{2^n(\log(2^n))^3}=\sum\frac1{n^3\cdot (\log^3(2)}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''. |
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
שורה 40: | שורה 39: | ||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
− | זהה וסווג נקודות אי רציפות: | + | זהה וסווג נקודות אי-רציפות: |
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>(x^2-1)sin(\ | + | <math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math> |
− | נקודות אי הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר 0 | + | נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0</math> ו- <math>1</math>. ב- <math>0^+</math> , <math>\frac1{x^3-x^2}\to -\infty</math>. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- <math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''. |
− | בנקודה 1 אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת | + | בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- <math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- <math>0</math> וזו נקודת אי-רציפות סליקה. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>f(x)= | + | <math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math> |
− | נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה | + | נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- <math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו- <math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>tan(\ | + | <math>\tan\left(\frac1{\log(x^2)}\right)</math> |
− | + | ב- <math>0</math> , ה- <math>\log</math> הולך ל- <math>-\infty</math> ולכן <math>\frac1{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי-רציפות '''סליקה'''. | |
− | + | ב- <math>\pm 1</math> הלוג הולך ל- <math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac1{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- <math>\tan</math> עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות מ'''מין שני'''. | |
− | במקומות בהם <math>\ | + | במקומות בהם <math>\frac1{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math> |
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
− | האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים | + | האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים? |
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>e^{-| | + | <math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math> |
− | הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>| | + | הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>log(2+cos(x))</math> בכל הממשיים. | + | <math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים. |
− | <math>2+cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו | + | <math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>cos( | + | <math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math> |
− | ניקח שתי סדרות ששואפות | + | ניקח שתי סדרות ששואפות ל- <math>0</math>, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math> |
==שאלה 6== | ==שאלה 6== | ||
שורה 84: | שורה 83: | ||
==שאלה 7== | ==שאלה 7== | ||
− | תהי f גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> | + | תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> |
===א=== | ===א=== | ||
− | הוכח שאם קיים הגבול <math>\ | + | הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> . |
− | לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\ | + | לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור ש<math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש- <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל. |
− | נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\ | + | נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\ | + | מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math> |
− | כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^ | + | כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(0)=0</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- <math>0</math>, נוכיח שהיא גם גזירה ב- <math>0</math> . <math>f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)=0</math>. |
− | לכן ערך הנגזרת | + | לכן ערך הנגזרת ב- <math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב<math>x_0=0</math>? |
− | הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math> | + | הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math>2x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)-\cos\left(\frac1{x}\right)</math>. לכן גבולה ב- <math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו. |
==שאלה 8== | ==שאלה 8== | ||
− | תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב<math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת קטע סגור של <math>(-1,1)</math> | + | תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת-קטע סגור של <math>(-1,1)</math> . |
===הפרכה=== | ===הפרכה=== | ||
− | למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^ | + | למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)</math>, <math>f(0)=0</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)-2\frac1{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac1{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to -\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> . |
גרסה מ־23:27, 30 בינואר 2016
תוכן עניינים
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
תהי סדרה , ותהי קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: סגורה
הוכחה
על-מנת להוכיח ש- סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם היא נקודת הצטברות של אזי היא גם גבול חלקי של .
נניח נקודת הצטברות של , לכן לכל קיים גבול חלקי הקרוב ל- עד כדי , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל- עד כדי . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל עד כדי (המרחק בין גבול תת-הסדרה לבין ועוד מרחק בין איברי תת-הסדרה לגבול תת-הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי-הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק מ- ולכן היא ודאי מתכנסת ל- כפי שרצינו.
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות ש- מונוטונית באזור (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל- ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.
ב
קל לראות ש- ולכן הטור מתבדר.
ג
בערך מוחלט זה קטן מ- . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 3
ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה
שאלה 4
זהה וסווג נקודות אי-רציפות:
א
נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר ו- . ב- , . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות הנה ממין שני.
בנקודה אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- וזו נקודת אי-רציפות סליקה.
ב
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- . אזי עבור מתקיים ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור מתקיים ולכן הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא מצד אחד ו- מהצד השני). באופן דומה לכל טבעי מתקיים ש הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
ג
ב- , ה- הולך ל- ולכן ולכן הגבול כולו הוא וזו נקודת אי-רציפות סליקה.
ב- הלוג הולך ל- ולכן מצד אחד שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות ממין שני.
במקומות בהם הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה
שאלה 5
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?
א
בקטע
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע ולכן סה"כ הגבולות הם כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בכל הממשיים.
רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע . בקטע הזו רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ג
בקטע
ניקח שתי סדרות ששואפות ל- , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת ועל השניה , וזה יסתור רציפות במ"ש. ,
שאלה 6
נגזרות
שאלה 7
תהי גזירה בקטע ותהי נקודה
א
הוכח שאם קיים הגבול אזי מתקיים .
לפי הגדרה . ברור ש ומכיון ש- רציפה אזי גם . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.
נגזור את המונה והמכנה לקבל ולכן קיבלנו את מה שרצינו.
ב
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה , כאשר אנחנו מגדירים . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- , נוכיח שהיא גם גזירה ב- . .
לכן ערך הנגזרת ב- הוא . מהו גבול הנגזרת ב?
הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל. לכן גבולה ב- לא קיים ( ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.
שאלה 8
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- , הוכח/הפרך: חסומה על כל תת-קטע סגור של .
הפרכה
למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה , . היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה . נביט בסדרה השואפת לאפס עליה מקבלים ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור .