הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח: | בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח: | ||
− | <math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math> | + | <math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math> |
+ | <u>טענה:<\u> נוכיח כי <math>lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=0</math> . |
גרסה מ־11:11, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה:<\u> נוכיח כי
.